Теория множеств. Построить взаимно-однозначное соответствие

[OneMore]

Добрый день!
Доказать, что если $A' \subset A$ и $B' \subset B$ и существуют взаимно-однозначные соответствия $f : A' \to B$ b и $g : B' \to A$, то существует и взаимно-однозначное соответствие между $A$ и $B$.

Моя идея решения основывается на попытке дополнить в отображении $f : A' \to B$ множество $A'$ до $A$ таким образом. Если $g: B' \to A$ взаимно-однозначное, то $\exists C \subset B': g(C) = A \setminus A'$. Объединив $f : A' \to B$ и $g^{-1} : A \setminus A' \to C$, получим почти решение, ведь теперь множество $f^{-1}(C)$ не сопоставляется ничему. Можно ли как-то продолжить?

[gris]

Это теорема Кантора-Бернштейна. Доказательства несложные, но нудные.
А у Вас при объединении отображений не получится взаимной однозначности. Каждый элемент множества $C$ будет иметь два прообраза. И $f^{-1}(C)=D\subset A';D\ne \varnothing$. Впрочем, может быть так и строится какая-то длинная цепь вложений?

[fractalon]

Доказательство изложено, например, в книге Айгнера и Циглера "Доказательства из книги", на странице 112.

[OneMore]

Спасибо! Да, это именно то, о чем я думал.
Как я понимаю, без вот этого перехода к четному объединению или его аналогу доказать не получится?