Уравнение с радикалами и задача на геометр. прогрессию.

[stedent076]

1)Дано:
$\sqrt{6x+1}-\sqrt{4x+2}=\sqrt{8x}+\sqrt{2x+3}$
Уже все способы перепробовал: возведение в квадрат обоих частей, замена переменной, делени6 одной части на другую,ничего не привело к результату.
2)Сумма первых трех членов убывающей геометрической прогрессии равна $\frac{14}{3}$, а сумма их квадратов –
$\frac{84}{9}$.Найдите первый член этой прогрессии.
Привожу свои конструктивные попытки решения этой задачи:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} b_1+b_1q+b_1q^2=\frac{14}{3}\\ (b_1)^2+(b_1q)^2+(b_1q^2)^2=\frac{84}{9} \\ \end{array} \right.$$

Я поделил второе уравнение на первое, и получил:
$b_1\cdot(\frac{1+q^2+q^4}{1+q+q^2})=2$
Что делать дальше?
(Я ни в коем случае не прошу халявы, подскажите направление, в котором нужно идти, чтобы решить задачу)

[sergei1961]

Может быть что-то сделать с первым уравнениям, чтобы поделив на второе, сократилось $b_1$?

[Lia]

stedent076 в сообщении #1093541 писал(а):

Уже все способы перепробовал: возведение в квадрат обоих частей,

Продемонстрируйте, пожалуйста.

[gris]

Попробуйте воспользоватьcя формулой $1-x^3=...$
Или (что то же самое) формулой суммы трёх членов ГП. Обратите внимание, что квадраты членов ГП тоже ГП

[Brukvalub]

stedent076 в сообщении #1093541 писал(а):

Уже все способы перепробовал: возведение в квадрат обоих частей,

Не нужно жаловаться, нужно привести здесь свою попытку возведения в квадрат.

[stedent076]

Lia
Brukvalub
Смотрите:
$\sqrt{6x+1}-\sqrt{4x+2}=\sqrt{8x}+\sqrt{2x+3}$
$6x+1-2\sqrt{(6x+1)(4x+2)}+4x+2=8x+2\sqrt{16x^2+24x}+2x+3$

[Mihr]

stedent076,
а как Вы получили здесь последнее уравнение?
И, если не очень трудно, пишите каждое уравнение с новой строки.

[stedent076]

gris
применить эту формулу к первому или второму выражению системы? Или сразу к обоим?

-- 23.01.2016, 20:49 --

Mihr
Перенес целые числа и иксы с коэффицентами в одну сторону от знака равенства, а радикалы в другую

[gris]

К обоим. Потом первое в квадрат. И делить, как Вы уже и начали. Потом чехарда преобразований, но многое посокращается. Останется квадратное уравнение на $q$. Это навскидку. Может быть и попроще можно.

[Mihr]

stedent076 в сообщении #1093562 писал(а):

Перенес целые числа и иксы с коэффицентами в одну сторону от знака равенства, а радикалы в другую

Вы ошиблись и с радикалами, и с остальными членами. Откуда, например, перед радикалом, который Вы не переносили, появился "минус"? И остальное проверьте.

[stedent076]

Mihr
Простите, не выспался сегодня).
Правильно?:
$0=2\cdot(\sqrt{(6x+1)(4x+2)}+\sqrt{16x^2+24x})$
т.е.
$\sqrt{(6x+1)(4x+2)}+\sqrt{16x^2+24x}=0\Rightarrow \sqrt{(6x+1)(4x+2)}=-\sqrt{16x^2+24x}$
Дальше возводить все в квадрат и решать квадратное уравнение, а потом проверить корни?

[Mihr]

stedent076,
лучше подумайте над таким вопросом: может ли сумма квадратных корней быть отрицательной?
А когда она может быть равна нулю?

[stedent076]

gris
Ок, имеем:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{14}{3}&=&\frac{b_1(1-q^3)}{1-q} \\b_1(b_1+b_1q^2+b_1q^4)&=&(\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}-b_1q-b_1q^3)b_1=\frac{84}{9} \end{array} \right.$$

Так применять формулу ко второму выражению?

-- 23.01.2016, 21:25 --

Mihr
Отрицательной не может быть, т.к $\sqrt{x^2}=|x|$. Равна нулю лишь сумма $\sqrt{0}+\sqrt{0}$.Понял вашу мысль, спасибо.

[gris]

Почему $q^5$
$1+g^2+q^4=1+(q^2)+(q^2)^2=\dfrac {1-q^?}{1-q^?}$
Ну если глаз намётан на формулы, тогда можно этот многочлен разложить в произведение двух квадратных трёхчленов. Тогда ещё проще.

[stedent076]

$b_1(b_1+b_1q^2+b_1q^4)=(\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}-b_1q-b_1q^3)b_1=\frac{84}{9}$ т.к. в левой части три члена ГП с нечетными номерами. Чтобы формула была коректной, нужно еще добавить два члена с четными номерами, именно $b_1q-b_1q^3$. в итоге – 5 членов, значит нужно ставить пятую степень у q в формуле для суммы.

-- 23.01.2016, 22:14 --

gris
Хитро)
$S_3=\frac{1-q^6}{1-q^2}$

Тогда, имеем:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \\$b_1^2(\frac{1-q^6}{1-q^2})=\frac{84}{3}$ \\$b_1(\frac{1-q^3}{1-q})=\frac{14}{9}$ \end{array} \right.$$

Возводя, по вашему совету, второе выражение этой системы в квадрат, и проводя деление первого равенства на второе,я получил:
$\frac{(1- q^6)(1-q^2)^2}{(1-q^2)(1-q^3)^2}=2$.Я не усложняю и иду в правильном направлении?

-- 23.01.2016, 22:44 --

Mihr
Но корни первого радикала не являются корнями второго. Я в ступоре