ОДУ, замена переменной

[Hoborg]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться с затруднением.

Есть тело массой $m$. Известно, что в момент $t_0$ оно движется со скоростью $\vec{v_0}$. Будем считать, что в течение $\Delta t$ после $t_0$ на это тело непрерывно действует сила $\vec{F}$. Я хотел бы найти скорость этого тела в $t_0 + \Delta t$ при условии, что скорости соизмеримы со скоростью света.

Как я собирался решать.
1. Я выяснил, что ускорение

$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}(1 - \frac{\vec{v}^2}{ c^2}) ^ {3/2}$$

.
2. Из этого я сделал вывод, что ускорение (производная скорости по времени) зависит от самой скорости.
3. Составил уравнение:

$$\frac{dv}{dt}=f_m(1-\frac{v^2}{c^2})^{3/2}$$

, где $f_m=|\vec{F}|/m$. Мне показалось, что это ОДУ с разделяющимися переменными.
4. Предполагаемое решение:

$$\int{(1-\frac{v^2}{c^2})^{2/3}dv}=\int{f_m dt}$$

.
5. Не смог вычислить левую часть. Хочу сделать замену переменной: $u=1-v^2/c^2$, откуда $du=-2v dv/c^2$ и $dv=-c^{2}du/2v$. Подставляю, получается:

$$-\frac{c^2}{2} \int{\frac{u^{2/3}}{v}du}=-\frac{c^2}{2} \int{\frac{u^{2/3}}{(1-uc^2)^{1/2}}du}$$

, что, как мне кажется, ещё сложнее. Другая предполагаемая замена - $u=(1-v^2/c^2)^3$ - тоже даёт ещё более громоздкий интеграл.

[ewert]

Hoborg в сообщении #1091591 писал(а):

$$\frac{dv}{dt}=f_m(1-\frac{v^2}{c^2})^{3/2}$$

, где $f_m=|\vec{F}|/m$. Мне показалось, что это ОДУ с разделяющимися переменными.

Правильно показалось.

Hoborg в сообщении #1091591 писал(а):

4. Предполагаемое решение:

$$\int{(1-\frac{v^2}{c^2})^{2/3}dv}=\int{f_m dt}$$

А вот это -- совершенно напрасное предположение. Учите тему "уравнения с разделяющимися переменными" (там, собственно, и учить-то практически нечего).

Hoborg в сообщении #1091591 писал(а):

5. Не смог вычислить левую часть. Хочу сделать замену переменной: $u=1-v^2/c^2$,

Учите одну из предыдущих тем -- "интегрирование некоторых иррациональных выражений". Там специально для Вас и специально для подобных случаев рекомендуется в качестве стандартной замены некий синус. (И это совершенно независимо от неверности предыдущего шага -- и после его исправления ситуация существенно не изменится.)

Впрочем, это я не вникая в физику. Не исключено, что и в физике у Вас есть какие-то глюки, но вникать -- лень.

-- Вс янв 17, 2016 23:29:46 --

Hoborg в сообщении #1091591 писал(а):

$$\int{(1-\frac{v^2}{c^2})^{2/3}dv}=\int{f_m dt}$$

А, пардон, не вчитался. Там у Вас проблемы не с дифурами, а тупо со школьными преобразованиями степеней.

[Brukvalub]

1. Непонятно, как вы перешли от векторного уравнения к ОДНОМУ скалярному.
2. Вы получили интеграл (с ошибкой в знаке степени ) , который называется интегралом от дифференциального бинома и, согласно т. Чебышева, берется в квадратурах только в трех случаях. Ваш случай в этот список не попадает.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1091595 писал(а):

Ваш случай в этот список не попадает.

Попадает после исправления тупой ошибки со степенями (тройка в знаменателе оказаться, естественно, никак не могла бы).

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1091601 писал(а):

Попадает после исправления тупой ошибки со степенями

Истинно так!

[svv]

Hoborg в сообщении #1091591 писал(а):

1. Я выяснил, что ускорение

$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}(1 - \frac{\vec{v}^2}{ c^2}) ^ {3/2}$$

Это правильно, если $\vec{F}\parallel\vec v$, а в общем случае — нет.

[Hoborg]

Спасибо всем за объяснения. Действительно, моё решение предполагало, что $\vec{F}\parallel\vec v$. Так что в итоге, после нескольких исписанных листов А4, я устал и решил поискать готовые формулы. На всякий случай напишу здесь примерный ход предложенного решения (для частного случая) с учётом полученных советов.

Дифференциальное уравнение:

$$(c^2-v^2)^{-\frac{3}{2}}dv = c^{-3} m^{-1} F dt.$$

В соответствии с wiki/Дифференциальный_бином замена:

$$t^2 = c^2 x^{-2} - 1.$$

С этой заменой получается интеграл $(-\int{t^{-2}dt})$ (для левой части уравнения).

Готовые формулы, которые можно использовать для решения данной задачи, включают:

• https://ru.wikipedia.org/wiki/Релятивистски_равноускоренное_движение
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Мещерского (раздел "Релятивистское уравнение Мещерского")
• Жуков А. И. Введение в теорию относительности. Москва, 1961. Параграф 12. Начало на стр. 85. Копия: http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=2192.

[Munin]

Если возьмётесь за случай $\vec{F}\nparallel\vec{v},$ то там удачной заменой переменной будет перейти к 4-скорости.

-- 23.01.2016 12:16:58 --

Ссылки на русскую Википедию вставляются так (откройте моё сообщение кнопкой , чтобы увидеть код):

https://ru.wikipedia.org/wiki/Релятивистски_равноускоренное_движение
https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Мещерского#Релятивистское_уравнение_Мещерского
хотя ссылки, конечно, не по делу.

И вместо Жукова, рекомендуется:
Тейлор, Уилер. Физика пространства-времени.
Фейнмановские лекции по физике. Вып. 2. Пространство. Время. Движение.
Ландау, Лифшиц. Теория поля. (Теоретическая физика. Т. 2.)