Найти жесткость пружины

[timtam]

Взяли 2 пружины разной длины с коэф. жесткости $k_1$ и $k_2$
Затем одну пружину вложили в другую и концы пружин связали.
Каков коэф. жесткости получившейся пружины?

Я пытался рассуждать следующим образом.
Обозначим первоначальные длины пружин как $l_1$ и $l_2$.
Пусть $l_1>l_2$
Тогда, после того как концы пружин связали,
длина первой пружины уменьшится на $\Delta l_1$,
а длина второй пружины увеличится на $\Delta l_2$
Т.е. длина первой пружины станет $l'_1$,
а длина второй пружины станет $l'_2$
Т.к. $l'_1=l'_2$ то можно записать
$l_1-\Delta l_1 = l_2 - \Delta l_2$
Согласно закона Гука $F_1=k_1 \Delta l_1$, а $F_2=k_2 \Delta l_2$
В случае когда концы пружин связаны $F_1=F_2$ (это утверждение верно?)

Ну а дальше никак не получается избавиться от величин, связанных с длиной пружины.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Обозначьте по-разному:
- начальные изменения длин пружин, до того момента, как они придут к одной длине, но на них извне не будет действовать силы;
- и последующее совместное изменение длины пружин, когда их уже будут сжимать вместе, как единое целое, внешней силой.

И в формулах не должно быть знаков доллара внутри. Должна быть только пара долларов по краям формулы. Сейчас у вас отдельно от формулы оказываются знаки "минус", "равно", "дельта", так вот, это неправильно.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1092720 писал(а):

И в формулах не должно быть знаков доллара внутри. Должна быть только пара долларов по краям формулы. Сейчас у вас отдельно от формулы оказываются знаки "минус", "равно", "дельта", так вот, это неправильно.

Кстати да. Замечание совершенно правильное, сейчас я это исправил сам вместо ТС.

[Sicker]

timtam
Длины кстати изменятся, но это вообще не важно, тк k не зависит от длины.

[timtam]

Sicker в сообщении #1092741 писал(а):

timtam
Длины кстати изменятся, но это вообще не важно, тк k не зависит от длины.

Какие длины - первоначальные, которые были до связывания?
Разумеется изменятся. Ведь по условию задачи изначально длины пружин разные.

-- 21.01.2016, 23:23 --

Munin в сообщении #1092720 писал(а):

Обозначьте по-разному:
- начальные изменения длин пружин, до того момента, как они придут к одной длине, но на них извне не будет действовать силы;
- и последующее совместное изменение длины пружин, когда их уже будут сжимать вместе, как единое целое, внешней силой.

Но ведь изменеия длин пружин произойдут под воздействием сил, которые одну пружину будут сжимать, а другую растягивать. Разве не так?
Совместное изменение длин пружин (уже связянных) можно рассматримать как "параллельное" сжатие/растяжение
двух пружин когда коэф. жесткости просто суммируются.
Не понимаю пока как это поможет в решении, но пожалуйста.
Обозначим как $\Delta l_1$ изменение длины первой пружины (из свободного состояния в связанное),
$\Delta l_2$ изменение длины второй пружины (из свободного состояния в связанное),
$\Delta l_S$ изменение длины составной пружины под воздействием внешней силы.

[arseniiv]

По-моему, можно легко обойтись без изменений длин пружин. Их надо выразить через текущую и «спокойную» длину, после чего всё прекрасно складывается, и…

[svv]

Жесткость пружины — это вторая производная потенциальной энергии по длине пружины. В случае выполнения закона Гука не зависит от длины пружины.

[timtam]

svv в сообщении #1093093 писал(а):

Жесткость пружины — это вторая производная потенциальной энергии по длине пружины. В случае выполнения закона Гука не зависит от длины пружины.

Эх, час от часу не легче
Потенциальная энергия пружины это $U=\frac 1 2 kx^2$
И вторая производная по длине действительно равна коэф. жесткости.
Только как это меня приблизит к решению задачи?

[arseniiv]

Главное — не мечитесь туда-сюда, можно обойтись и без потенциальной энергии. Она полезна, но не необходима. Дальше обозначений что-нибудь уже получили?

[Mihr]

timtam в сообщении #1093298 писал(а):

Только как это меня приблизит к решению задачи?

Элементарно. Достаточно заметить, что эта самая вторая производная - постоянная величина (от удлинения пружины она не зависит). Это уже специально подчёркивали раньше.
Представьте себе, что пружины в недеформированном состоянии соединены параллельно. Как найти жёсткость такой "составной пружины"?
И здесь - то же самое. Пусть для того, чтобы связать концы пружин, их нужно предварительно деформировать - это неважно. На общей жёсткости системы это не отражается.

[timtam]

arseniiv в сообщении #1093082 писал(а):

По-моему, можно легко обойтись без изменений длин пружин. Их надо выразить через текущую и «спокойную» длину, после чего всё прекрасно складывается, и…

"Их" имелось в виду изменения длин пружин?
Так я уже записывал (в принятых мной обозначениях) $l_1-\Delta l_1 = l_2 + \Delta l_2$
Более никакого равенства мне пока составить не удалось.

Ох, знаете вы ответ, знаете

-- 22.01.2016, 19:04 --

Mihr в сообщении #1093303 писал(а):

timtam в сообщении #1093298 писал(а):

Только как это меня приблизит к решению задачи?

Элементарно. Достаточно заметить, что эта самая вторая производная - постоянная величина (от удлинения пружины она не зависит). Это уже специально подчёркивали раньше.
Представьте себе, что пружины в недеформированном состоянии соединены параллельно. Как найти жёсткость такой "составной пружины"?
И здесь - то же самое. Пусть для того, чтобы связать концы пружин, их нужно предварительно деформировать - это неважно. На общей жёсткости системы это не отражается.

Как находится жесткость системы паралельно соединенных пружин я тоже уже писал.
Их жесткости просто складываются.
Для меня неочевидно, что
"Пусть для того, чтобы связать концы пружин, их нужно предварительно деформировать - это неважно. На общей жёсткости системы это не отражается."

[arseniiv]

timtam в сообщении #1093304 писал(а):

"Их" имелось в виду изменения длин пружин?

Ага. Если вы этим путём пойдёте, конечно.

timtam в сообщении #1093304 писал(а):

Так я уже записывал (в принятых мной обозначениях) $l_1-\Delta l_1 = l_2 + \Delta l_2$
Более никакого равенства мне пока составить не удалось.

А это равенство можно не писать. Лучше напишите теперь силы, с которыми пружины действуют на что-то, их удерживающее.

[Skeptic]

timtam в сообщении #1093304 писал(а):

Как находится жесткость системы паралельно соединенных пружин я тоже уже писал.
Их жесткости просто складываются.
Для меня неочевидно, что
"Пусть для того, чтобы связать концы пружин, их нужно предварительно деформировать - это неважно. На общей жёсткости системы это не отражается."

Рассмотрите пружины отдельно. Выясните, как изменяется жёсткость отдельной пружины при её деформации. Потом жёсткости пружин сложите.