Вычисление временного интервала между событиями в рамках СТО

[Ctrl-Alt-De1]

Известно, что в СТО течение времени для разных ИСО, движущихся друг относительно друга, различно. Тем не менее, физическая реальность, описываемая теорией едина, поэтому измеренная разность хода часов в зафиксированном эксперименте не должна зависеть от СО, используемой для расчетов. В связи с вышеперечисленным, я пытаюсь решить следующую задачу:

В момент времени $t_{1}$ из точки A по прямой отправился путешественник со скоростью $v_0$. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью отправился обратно и прибыл в точку A в момент времени $t_{2}$. (Точки, скорости и времена определены в некоторой ИСО $Oxyz$). Рассчитать показания собственных часов путешественника. Расчеты произвести в 2-х различных ИСО и показать, что результаты идентичны.

Решение:

ИСО, в которой точка A неподвижна

Выберем положительное направление оси $x$ в ИСО $Oxyz$ так, чтобы оно совпадало с вектором скорости путешественника в начальный момент времени $t_{1}$.

Обозначим разность показаний хода часов как $\delta t = t_{1} - t_{0}$.
Тогда, т. к. скорость "туда" и "обратно" была одинакова (и мы все время находились в одной и той же ИСО), то момент разворота в ИСО $Oxyz$ равен $t_r = \delta t /2$

Запишем уравнения движения путешественника:

$$\begin{cases} x(t) = v_{0}t, t < t_r\\ x(t) = -v_{0}t, t \geqslant t_r\\ t(t) = t \end{cases}$$

Продифференцируем по $t$:

$$\begin{cases} dx(t) = v_{0}dt, t < t_r\\ dx(t) = -v_{0}dt, t \geqslant t_r \\ dt(t) = dt \end{cases}$$

Промежуток времени, измеряемый движущимися часами, вычисляется по формуле:

$$ \tau = \frac 1c\int\limits_{\Gamma}ds,\eqno{(1)} $$

где $\Gamma$ - отрезок мировой линии, для которого вычисляется собственное время, а $ds$ - интервал:

$$ds^2=c^2dt^2-dl^2\eqno{(2)}$$

Т. к. движение происходит только по 1-й оси, до $dl = dx$, поэтому получаем:

$$ \tau = \frac 1c\int\limits_{t_1}^{t_r}\sqrt{c^2 - v_{0}^{2}}dt + \frac 1c\int\limits_{t_r}^{t_2}\sqrt{c^2 - v_{0}^2}dt $$

Видим, что подынтегральные выражения не зависят от $t$, поэтому искомое собственное время путешественника будет равно:

$$ \tau = \frac 1c\sqrt{c^2 - v_{0}^2}(t_r - t_1) + \frac 1c\sqrt{c^2 - v_{0}^2}(t_2 - t_r) $$

$$ \tau = \frac 1c\sqrt{c^2 - v_{0}^2}\left( t_r - t_1 + t_2 - t_r \right) = \delta t \sqrt{1 - \frac {v_{0}^2}{c^2}} $$

Итак, при использовании в расчетах ИСО $Oxyz$, получаем собственное время путешественника:

$$ \tau = \delta t \sqrt{1 - \frac {v_{0}^2}{c^2}} \eqno(3) $$

Произвольная ИСО

Выберем новую ИСО $O'x'y'z'$, такую, у которой оси координат совпадают с ИСО $Oxyz$ и которая движется вдоль оси $x$ со скоростью $V$.

Пересчитаем уравнения движения для данной ИСО согласно преобразованиям Лоренца:

$$\begin{cases} x'(t) = \frac {v_0t - Vt}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}}, t < t_r' \\ x'(t) = \frac {-v_0t - Vt}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}}, t \geqslant t_r'\\ t'(t) = \frac {t-\frac V{c^2}v_0t}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}}, t < t_r'\\ t'(t) = \frac {t+\frac V{c^2}v_0t}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}}, t \geqslant t_r' \\ \end{cases}$$

Продифференцируем по $t$:

$$\begin{cases} dx'(t) = \frac {v_0 - V}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}}dt, t < t_r'\\ dx'(t) = \frac {-v_0 - V}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}}dt, t \geqslant t_r'\\ dt'(t) = \frac {1-\frac V{c^2}v_0}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}}dt, t < t_r'\\ dt'(t) = \frac {1+\frac V{c^2}v_0}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}}dt, t \geqslant t_r' t\\ \end{cases}$$

Найдем моменты времени в новой ИСО $t_1'$, $t_r'$ $t_2'$, используя преобразования Лоренца:

$$ t_1' = \frac {t_1-\frac {V^2}{c^2}t_1}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}} = t_1\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} \eqno(4) $$

$$ t_r' = \frac {t_r-\frac {V^2}{c^2}t_r}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}} = t_r\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} \eqno(5) $$

$$ t_2' = \frac {t_2-\frac {V^2}{c^2}t_2}{\sqrt{1-\frac {V^2}{c^2}}} = t_2\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} \eqno(6) $$

Подставим найденные значения в формулу $(1)$:

$$ \tau = \frac 1c\int\limits_{t'_1}^{t'_r}\sqrt{\frac{c^2\left(1-\frac{V}{c^2}v_0\right)^2}{1-\frac{V^2}{c^2}}-\frac{\left(v_0-V\right)^2}{1-\frac{V^2}{c^2}}}dt + \frac 1c\int\limits_{t'_1}^{t'_r}\sqrt{\frac{c^2\left(1+\frac{V}{c^2}v_0\right)^2}{1-\frac{V^2}{c^2}}-\frac{\left(v_0+V\right)^2}{1-\frac{V^2}{c^2}}}dt $$

Преобразуем первое подынтегральное выражение:

$$ c^2\left(1-\frac V{c^2}v_0\right)^2-\left(v_0-V\right)^2=с^2-2Vv_0+\frac{V^2v_{0}^2}{c^2}-v_{0}^2+2Vv_0-V^2=c^2+\frac{V^2v_{0}^2}{c^2}-v_{0}^2-V^2\eqno(8) $$

Второе подынтегральное выражение:

$$ c^2\left(1+\frac V{c^2}v_0\right)^2-\left(v_0+V\right)^2=c^2+2Vv_0+\frac{V^2v_{0}^2}{c^2}-v_{0}^2-2Vv_0-V^2=c^2+\frac{V^2v_{0}^2}{c^2}-v_{0}^2-V^2\eqno(9) $$

Видим, что $(8)$ и $(9)$ равны. Обозначим $m = (8) = (9)$, тогда

$$ \tau = \frac 1c\sqrt{\frac{m}{1-\frac{V^2}{c^2}}}\left(t_r'-t_1'\right) + \frac 1c\sqrt{\frac{m}{1-\frac{V^2}{c^2}}}\left(t_2'-t_r'\right)=\frac 1c\sqrt{\frac{m}{1-\frac{V^2}{c^2}}}\delta t' $$

Найдем $\delta t'$:

$$ \delta t'=t_2\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}-t_1\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}=\delta t\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} $$

В результате имеем искомое собственное время путешественника:

$$ \tau = \frac 1c\sqrt m \delta t=\frac {\delta t}c\sqrt {\left(c^2+\frac{V^2v_{0}^2}{c^2}-v_{0}^2-V^2\right)}\eqno(10) $$

Полученное значение $(10)$, увы, не равно $(3)$...
Я, конечно, понимаю, что мало кто добрался до этих строк, но, если таковые есть, не могли бы вы помочь найти, в чем тут моя ошибка?

[Pphantom]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093246 писал(а):

ИСО, связанная с точкой A

А таковая существует?

[Ctrl-Alt-De1]

Разве нельзя в произвольной ИСО выбрать произвольную неподвижную точку $A$? Или такую точку нельзя назвать связанной с ИСО?

[Pphantom]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093254 писал(а):

Разве нельзя в произвольной ИСО выбрать произвольную неподвижную точку $A$? Или такую точку нельзя назвать связанной с ИСО?

Да, действительно, это следствие моей невнимательности, вопрос снимается.

[arseniiv]

Ctrl-Alt-De1
Например, если вы этой точкой выберете положение частицы, движущейся со скоростью $c$, не получится. Но «точка, связанная с ИСО» выглядит действительно не очень ясно.

[Exodus]

Ускорение куда пропало? Если уж в каждую дырочку залезать, то залезать во все, а не выборочно.
Если вы скажете что у вас объект это фотон, тобишь ускорение для него отсутствует, то по той же формуле (3) время для фотона превращается в мнимую величину, ибо корень из нуля, что, грубо говоря, равнозначно тому, что для фотона время стоит на месте.

[12d3]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093246 писал(а):

Запишем уравнения движения путешественника

Уже здесь ошибка. В момент разворота у вас путешественник внезапно перепрыгнул из точки $v_0 t_r$ в точку $-v_0 t_r$.

[Ctrl-Alt-De1]

Не очень понимаю, о каком ускорении идет речь... Ускорение тут только в одном месте возникает: в момент разворота путешественника (разворот мгновенный). Как вы предлагаете учитывать ускорение?

Скорости $V$ и $v_0$ меньше $c$

-- Пт янв 22, 2016 21:05:30 --

Цитата:

В момент разворота у вас путешественник внезапно перепрыгнул из точки $v_0 t_r$ в точку $-v_0 t_r$.

Да, действительно, тут ошибка. Должно быть $x(t)=v_0t_r-v_0t$... Нужно все пересчитывать... Сейчас попробую, спасибо

[Exodus]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093268 писал(а):

Не очень понимаю, о каком ускорении идет речь... Ускорение тут только в одном месте возникает: в момент разворота путешественника (разворот мгновенный). Как вы предлагаете учитывать ускорение?

Скорости $V$ и $v_0$ меньше $c$

Как бы скорость появляется только при наличиии ускорения. Даже если у нас точка тэ ноль взята уже после того как путешественник ускорился, нужно все еще применить ускорение для возврата в точку начала отсчета времени. Чтобы изменить курс и вернутся в точку старта нужно развернуться, что значит затормозить и разогнаться до предыдущей, или любой другой, скорости, что значит применить силу ускорения к путешественнику.
К чему я? К тому что для ускорения не действуют законы для инерционного движения. Более того, в ускоряющихся системах возможно как замедление так и ускорение времени. Формулы я привести не могу, лень искать где я это прочитал, так что можете не верить мне.

[Geen]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093246 писал(а):

Найдем моменты времени в новой ИСО $t_1'$, $t_r'$ $t_2'$, используя преобразования Лоренца

Что-то тут не то, кажется....

[Ctrl-Alt-De1]

Geen в сообщении #1093272 писал(а):

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093246 писал(а):

Найдем моменты времени в новой ИСО $t_1'$, $t_r'$ $t_2'$, используя преобразования Лоренца

Что-то тут не то, кажется....

Почему не то? Моменты времени $t_1$, $t_r$, $t_2$ определены в ИСО $Oxyz$. Чтобы найти эти моменты в ИСО $O'x'y'z'$, нужно использовать преобразования Лоренца. Скорость $Oxyz$ относительно $O'x'y'z'$ равна $V$. Вроде все верно...

[Geen]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093274 писал(а):

Geen в сообщении #1093272 писал(а):

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093246 писал(а):

Найдем моменты времени в новой ИСО $t_1'$, $t_r'$ $t_2'$, используя преобразования Лоренца

Что-то тут не то, кажется....

Почему не то? Моменты времени $t_1$, $t_r$, $t_2$ определены в ИСО $Oxyz$. Чтобы найти эти моменты в ИСО $O'x'y'z'$, нужно использовать преобразования Лоренца. Скорость $Oxyz$ относительно $O'x'y'z'$ равна $V$. Вроде все верно...

У Вас три события, верно? Выпишите, пожалуйста, их координаты в обеих ИСО.

[Ctrl-Alt-De1]

Geen в сообщении #1093275 писал(а):

У Вас три события, верно? Выпишите, пожалуйста, их координаты в обеих ИСО.

Координаты событий:

$$ x_1 = v_0t_1 $$

$$ t_1 = t_1 $$

$$ x_1' = \frac{v_0t_1-Vt_1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} $$

$$ t_1' = \frac{t_1-\frac{V}{c^2}v_0t_1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} $$

$x_r$, $x_2$, $t_r$, $t_2$ аналогично, нужно только заменить соответствующие индексы

[Geen]

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093278 писал(а):

аналогично, нужно только заменить соответствующие индексы

Что-то я тогда термин "развернулся" не понимаю...

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093246 писал(а):

Запишем уравнения движения путешественника

Кстати, неверно уже вот здесь.

[Ctrl-Alt-De1]

12d3 в сообщении #1093266 писал(а):

Ctrl-Alt-De1 в сообщении #1093246 писал(а):

Запишем уравнения движения путешественника

Уже здесь ошибка. В момент разворота у вас путешественник внезапно перепрыгнул из точки $v_0 t_r$ в точку $-v_0 t_r$.

Да, ошибка есть, следовало написать $x(t) = v_0t_r-v_{0}t, t \geqslant t_r$. Однако при дифференцировании по $t$ первое слагаемое обращается в нуль. Все остальные расчеты остаются в силе

-- Пт янв 22, 2016 21:52:46 --

Geen в сообщении #1093279 писал(а):

Что-то я тогда термин "развернулся" не понимаю...

Да, вы правы, уравнение движения-то кусочное. Тогда должно быть так:

$$\begin{cases} x_1 = v_0 t_1\\ x_r = v_0 t_r\\ x_2 = v_0 t_r - v_0t_2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x_1' = \frac{v_0t_1-Vt_1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\\ x_r' = \frac{v_0t_r-Vt_r}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\\ x_2' = \frac{v_0t_r - v_0t_2-Vt_2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} \end{cases}$$

$$\begin{cases} t_1' = \frac{t_1-\frac{V}{c^2}v_0t_1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\\ t_r' = \frac{t_r-\frac{V}{c^2}v_0t_r}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\\ t_2' = \frac{t_2-\frac{V}{c^2}(v_0t_r - v_0t_2)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} \end{cases}$$

И тогда надо пересчитывать интегралы... Сейчас займусь