2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 13:00 


05/05/15
29
Привет!

Пытаюсь решить систему из трех уравнений с тремя неизвестными следующего вида:
$
\begin{cases}
a+b+c = summ \\
a^2+b^2+c^2 = squareSumm \\
a^3+b^3+c^3 = cubeSumm \\
\end{cases}
$

где известны значения сумм и нужно найти значения членов a, b и c. Посмотрел метод Крамера и Гаусса, но они только для линейных уравнений. Собственно вопрос мой в том, возможно ли в принципе решить систему такого рода?

Если можно, дайте пожалуйста толчок мысли, мои собственные идеи иссякли.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 13:04 


14/01/11
2677
Про симметрические многочлены слышали что-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 13:16 


05/05/15
29
Первый раз в жизни слышу (

Почитал на википедии, но так и не понял, чем перестановка входящих переменных может помочь в решении задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 13:29 


14/01/11
2677
А задачу откуда взяли?

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Fennec в сообщении #1092852 писал(а):
так и не понял, чем перестановка входящих переменных может помочь в решении задачи

Позволит, опираясь на теорему Виета, свести решение данной системы к решению одного кубического уравнения с одной неизвестной. Считать ли это шагом к решению задачи или не считать так - решайте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 13:37 


05/05/15
29
Sender в сообщении #1092854 писал(а):
А задачу откуда взяли?


Задача с Яндекс стажировок, которую я уже завалил, но все равно хочу понять как она решается. Естественно это была не вся задача, а только последний ее фрагмент, с которым я не управился.

Mihr в сообщении #1092855 писал(а):
Fennec в сообщении #1092852 писал(а):
так и не понял, чем перестановка входящих переменных может помочь в решении задачи

Позволит, опираясь на теорему Виета, свести решение данной системы к решению одного кубического уравнения с одной неизвестной. Считать ли это шагом к решению задачи или не считать так - решайте сами.


Как раз дошел до теоремы Виета, сейчас буду разбираться. Спасибо за подсказку.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 14:55 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Fennec в сообщении #1092856 писал(а):
дошел до теоремы Виета
К ней надо добавить основную теорему симметрических многочленов (в Википедии она так называется, так что, думаю, можно найти источник).

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 15:12 


05/05/15
29
Нет, все-таки я застрял. Я так понял, что эту систему уравнений нужно привести к виду кубического уравнения и по идее набор эти формул http://100formul.ru/13 должен мне в этом помочь.

Если я правильно понял что такое симметрический многочлен, то это такой многочлен, в котором от перестановки мест переменных результат не изменится. То есть возможны только три операции в симметрическом многочлене: сложение, вычитание, умножение.

Дальше, на википедии приведен такой текст
Цитата:
Основная теорема теории симметрических многочленов гласит, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным образом в виде многочлена от основных симметрических многочленов.


основными симметрическими многочленами являются $x + y$ и $xy$

Но вроде как исходные уравнения так и представлены, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Fennec в сообщении #1092868 писал(а):
основными симметрическими многочленами являются $x + y$ и $xy$
Нет. Основные симметрические многочлены для случая трех переменных, который Вам нужен - это $x + y + z$, $xy + xz + yz$ и $xyz$. Они же фигурируют и в теореме Виета.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 16:20 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Fennec в сообщении #1092868 писал(а):
То есть возможны только три операции в симметрическом многочлене: сложение, вычитание, умножение
По вашей ссылке, обратите внимание, есть и деление.
Общий план примерно такой: выражаем левые части уравнение через основные (по вашей ссылке — три первых), имея три основных, составляем кубическое уравнение, его корнями как раз и будут ваши переменные. Как выразить левые части — можно посмотреть доказательство основной теоремы, оно конструктивно; в данном случае, можно и просто подбором.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
В нежном возрасте я прочел книжку: Болтянский, Виленкин Симметрия в алгебре, и она "глубоко меня перепахала"! В ней почти на пальцах подробно рассказано, как решать подобные системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7946
Москва
Решение для знающих уже Вам сказали. Решение для "соображающих", выявление коих, возможно, и было целью данной задачи, я давать не буду, а покажу, как решать более простую.
$x+y=A$
$x^2+y^2=B$
Чешем в затылке. Умеем мы решать только линейные. В первом уравнении квадратов нет, во втором есть. Как-то надо выравнять. Возводим первое в квадрат
$x^2+2xy+y^2=A^2$
Вычтя второе из квадрата первого - получаем $xy$
Вычтя из квадрата первого учетверённое $xy$, получаем
$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$, откуда находится $x-y$ (слегка задумываемся о знаках) и вуаля - у нас есть линейная система!
А теперь это же, но применительно к кубам...

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 18:37 


05/05/15
29
Ого, сколько вас тут откликнулось! Спасибо! Дайте мне немного времени, я попробую составить решение еще раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Fennec
А правые части уравнений произвольные? При некоторых значениях система решается особенно легко...

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы степенных уравнений
Сообщение21.01.2016, 20:20 


05/05/15
29
provincialka в сообщении #1092957 писал(а):
Fennec
А правые части уравнений произвольные? При некоторых значениях система решается особенно легко...


Значения сумм являются входными параметрами для программы, по ним необходимо вычислить значения переменных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group