Система квадратных уравнений

[scwec]

Докажите, что система 3-х квадратных уравнений
$x^2+1=u^2$, $(x-y)^2+1=v^2$, $(x+y)^2+1=w^2$ имеет бесконечно много решений в положительных рациональных числах.

[Shadow]

Из первого уравнения $x=\dfrac{a^2-1}{2a}$

Аналогично $x-y=\dfrac{b^2-1}{2b},\;x+y=\dfrac{c^2-1}{2c}$

Или

$\dfrac{a^2-1}{a}=\dfrac{b^2-1}{2b}+\dfrac{c^2-1}{2c}$

Положим для удобства $a=2c$, получим

$c=\dfrac{b^2-1}{3b}$

Откуда

$x=\dfrac{4b^4-17b^2+4}{12b(b^2-1)},\;y=-\dfrac{2b^4+5b^2+2}{12b(b^2-1)}$


они будут обе положительными при $b \in (-2;-1)\cup (\frac 1 2;1)$

[scwec]

Тонкое и филигранное решение. Особенно удалось $a=2c$ (Общее решение здесь не ищется, да это вряд ли возможно).
Приведу еще одно из бесконечного числа возможных 1-параметрических решений.
$x=\dfrac{1}{2}\dfrac{m(m^3-6m-4)}{2m^3+m^2-2m-1}$,
$y=\dfrac{1}{2}\dfrac{m(m^3+3m^2+3m+2)}{2m^3+m^2-2m-1}$, где при рациональных $m>1+\sqrt{3}$ рациональные $x,y$ больше нуля.
Вообще, вопрос темы появился при поиске рациональных точек бесконечного порядка на эллиптической кривой $w^2=u^3+(N^4+1)u^2+N^4{u}$
и доказательстве того, что в последовательности OEIS http://oeis.org/A117319 бесконечно много квадратов.

[scwec]

Кстати, из формул для $x,y$, полученных Shadow, бесплатно получается 1-параметрическое решение для определения треугольников
с рациональными длинами сторон $A,B,C$, рациональной площадью и хотя бы одной медианой рациональной длины.
Рассмотрим треугольник с длинами сторон $(v,w,2|y|)$ и медианой c длиной $u$.
Избавляясь от знаменателей в выражениях $u,v,w,y$ получаем:
$A=2k^4+14k^2+2, B=6k^4-6, C=4k^4+10k^2+4, M_C=4k^4+k^2+4$ и площадь треугольника $S=12k(k^2+2)(k^2-1)(2k^2+1)$, где $k>1$ рациональный параметр.
Вычислим теперь две другие медианы по известным формулам:
$M_A=\sqrt{25k^8+26k^6-21k^4+26k^2+25},M_B=\sqrt{k^8+68k^6+186k^4+68k^2+1}$.
Не исключено, что подкоренные выражения могут быть квадратами.
Во всяком случае, если положить $k^2=X$, то имеем уравнения кривых
${M_A}^2=25X^4+26X^3-21X^2+26X+25$ и ${M_B}^2=X^4+68X^3+186X^2+68X+1$ и обе имеют ранг 1, что дает некоторую надежду на то, что при каких-то рациональных $k$ под корнем квадраты.
Точно так же эта процедура проводится с любым подходящим рациональным решением исходной системы трех квадратных уравнений.