влияние отдельных компонент нормы на общую ошибку

[Andrey_Kireew]

Помогите пожалуйста разобраться
ошибка конечноэлементной аппроксимации решения уравнения Пуассона, в случае линейных базисных функций определяется как
$\left\lVert\varphi - \tilde{\varphi }\right\rVert_0\leqslant C\cdot h^2\left\lVert \varphi\right\rVert_2$, где $\varphi$ - истинное значение потенциала, $\tilde{\varphi}$ - его аппроксимация, $C$ - некоторая постоянная, $ h $ - шаг расчётной сетки.
по определению нормы функции $\left\lVert\varphi - \tilde{\varphi }\right\rVert_0=max\left\lvert \varphi - \tilde{\varphi } \right\rvert$
$\left\lVert \varphi\right\rVert_2=max\left\lvert \varphi \right\rvert + max\left\lvert grad(\varphi) \right\rvert + max\left\lvert div(grad(\varphi)) \right\rvert $

обращаюсь к специалистам, можно корректно ли будет представление этого неравенства в виде
$max\left\lvert \varphi - \tilde{\varphi } \right\rvert\leqslant h^2( C_1 \cdot max\left\lvert \varphi \right\rvert + C_2 \cdot max\left\lvert grad(\varphi) \right\rvert + C_3 \cdot max\left\lvert div(grad(\varphi)) \right\rvert )$

т.е. корректно ли будет вместо единой константы $C$ вводить три разные константы для потенциала и его первой и второй производной
это необходимо чтобы определить вклад каждой компоненты нормы в общую ошибку, с единой константой этого сделать неудаётся,
например в одной и той же задачи если потенциал измеряется в вольтах а расстояние в метрах, то доминирующим слагаемым второй нормы будет вторая производная, если же расстояние измеряется в миллиметрах, то доминирующим будет потенциал, так как
$1V/m>>10^{-3}V/mm$, хотя с физической точки зрения это одна и та же величина

[ewert]

Констант, разумеется, три, и они, разумеется, зависят от выбора системы единиц -- просто потому, что умножаются на величины разных размерностей. Просто потом они огрубляются до одной по максимуму. А делается так потому, что эта оценка -- сугубо теоретического характера, на практике никто с её помощью контролировать точность даже и не пытается.

[Andrey_Kireew]

ewert в сообщении #1092926 писал(а):

Констант, разумеется, три, и они, разумеется, зависят от выбора системы единиц -- просто потому, что умножаются на величины разных размерностей. Просто потом они огрубляются до одной по максимуму. А делается так потому, что эта оценка -- сугубо теоретического характера, на практике никто с её помощью контролировать точность даже и не пытается.

большое спасибо!
если так то этот момент мне стал понятен

но ещё вопрос
известно, что по первой норме, т.е. вместе со своей первой производной это же решение сходится как
$\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_1\leqslant C\frac{h}{sin\alpha}\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_2 $,
тогда вычитая из этого выражения выражение для нуль-нормы получаем выражение для сходимости чисто первой производной, без самой функции, и оно получается таким
$max\left\lvert \delta E \right\rvert \leqslant (C_2\frac{h}{sin\alpha}-C_1\cdot h^2)\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_2 $
тогда получается с увеличением шага сетки ошибка по производной как и следовало ожидать увеличивается, но затем достигает максимума, а дальше - даже уменьшается, хотя ошибка потенциала разумеется всё это время растёт с квадратом шага сетки
так ли это на самом деле, и если да - то чем это можно объяснить?

[ewert]

Andrey_Kireew в сообщении #1092933 писал(а):

$max\left\lvert \delta E \right\rvert \leqslant (C_2\frac{h}{sin\alpha}-C_1\cdot h^2)\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_2 $

Я в оценки не вникал, но такого, во всяком случае, не бывает: нельзя вычитать друг из друга неравенства одного направления.

[Andrey_Kireew]

ewert в сообщении #1092935 писал(а):

Andrey_Kireew в сообщении #1092933 писал(а):

$max\left\lvert \delta E \right\rvert \leqslant (C_2\frac{h}{sin\alpha}-C_1\cdot h^2)\left\lVert \varphi-\tilde{\varphi}\right\rVert_2 $

Я в оценки не вникал, но такого, во всяком случае, не бывает: нельзя вычитать друг из друга неравенства одного направления.

понятно, спасибо

-- 21.01.2016, 19:46 --

ewert в сообщении #1092935 писал(а):

Я в оценки не вникал, но такого, во всяком случае, не бывает: нельзя вычитать друг из друга неравенства одного направления.

ещё небольшой вопрос, а почему тогда синус минимального угла влияет только на ошибку напряженности, а на ошибку потенциала не влияет? для меня это как то странно

[ewert]

Andrey_Kireew в сообщении #1092939 писал(а):

а почему тогда синус минимального угла влияет только на ошибку напряженности, а на ошибку потенциала не влияет?

Я не помню технических деталей МКЭ, но, в принципе, так и должно быть. При триангуляции поверхности грани хорошо аппроксимируют саму поверхность независимо от их формы, а вот градиент -- лишь если они не слишком остроугольны (вспомните хотя бы сапог Шварца).

[Andrey_Kireew]

ewert в сообщении #1092945 писал(а):

Я не помню технических деталей МКЭ, но, в принципе, так и должно быть. При триангуляции поверхности грани хорошо аппроксимируют саму поверхность независимо от их формы, а вот градиент -- лишь если они не слишком остроугольны (вспомните хотя бы сапог Шварца).

теперь понятно!
пожалуйста ответьте ещё на один вопрос:
как я понял константа $C$ ни от разбиения, ни от распределения потенциала, напрашивается вывод, что она не зависит и от краевых условий. Тогда возникает справедливый вопрос - от чего же тогда она зависит?
т.е. интересует могу ли я вычислить эти константы для конкретного класса задач (например на сгущающихся сетках по формулам Рунге), а потом их как то использовать для оценивания ошибок других решений?

[ewert]

Andrey_Kireew в сообщении #1092949 писал(а):

от чего же тогда она зависит?

Она, безусловно, зависит от спектральных свойств оператора (и, следовательно, от граничных условий тоже). Но искать её явно -- занятие довольно бесперспективное.

[Andrey_Kireew]

ewert в сообщении #1092952 писал(а):

Она, безусловно, зависит от спектральных свойств оператора (и, следовательно, от граничных условий тоже). Но искать её явно -- занятие довольно бесперспективное.

это плохо, а как думаете, хотя бы приближенно можно найти какие то усреднённые значения?
вообще у меня есть потребность в априорных оценках ошибки, в частности как влияет на неё напряжённость, заряд и мам потенциал
или же всё это можно использовать исключительно для исследования сходимости?