Непрерывность неопределенного интеграла

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Вопрос возник из доказательства того, что в $L_p$ при $0<p<1$ нет нетривиальных открытых выпуклых множеств (Рудин, "Функциональный анализ", стр. 46).
Сам вопрос в следующем. Рассматривается

$$ \Delta (f):= \int_0^1 |f|^p (t) dt, $$

выбирается некоторое натуральное $n$ и проговаривается фраза:
"В силу непрерывности неопределенного интеграла от $|f|^p$ существуют такие точки

$$ 0 =x_0 < x_1 < ... < x_n =1,$$

что

$$ \int_{x_{i-1}}^{x_i} |f|^p(t)dt = n^{-1} \Delta(f)

Вопрос: как строго показать, что такое можно делать? Абсолютную непрерывность интеграла я понимаю, но там неравенства, а тут равенство.

[ewert]

Если менять $x_1$ от $0$ до $1$, то значение интеграла по промежутку $[x_0;x_1]$ будет непрерывно меняться от нуля до
$\Delta (f)$. Следовательно, при каком-то значении $x_1$ этот интеграл окажется равным $\frac{\Delta (f)}{n}$; далее -- по индукции.

("непрерывность неопределённого интеграла" -- это некоторый глюк; имелась в виду, конечно, непрерывность интеграла с переменным верхним пределом)

[Grabovskiy]

ewert
Точно, спасибо!