Задача по топологии прямой

[Padawan]

1.Доказать, что множества всех действительных чисел и неотрицательных действительных чисел не гомеоморфны.
2.Гомеоморфны ли множества всех рациональных чисел и неотрицательных рациональных чисел?

[Руст]

Если бы существовал изоморфизм, то продолжался бы и до пополнения. Т.е. нет

[Trueman]

Padawan писал(а):

1.Доказать, что множества всех действительных чисел и неотрицательных действительных чисел не гомеоморфны.
2.Гомеоморфны ли множества всех рациональных чисел и неотрицательных рациональных чисел?

Я так понимаю топология обычная, тогда в ней открытый интервал и полуинтервал не гомеоморфны, а вся вещественная прямая гомеоморфна открытому интервалу, а весь луч неотрицательных вещественных чисел, гомеоморфен полуинтервалу, а значит между собой они не гомеоморфны.
а второй пункт, как правильно заметил Руст, очевидно следует из того, что если предположить наличие гомеоморфизма, то он продолжается и на пополнение, а там из пункта один видно, что его не существует, значит и здесь не существует.
Вроде бы так получается.

[Padawan]

Trueman, а как вы докажите, что интервал не гомеоморфен полуинтервалу? (на самом деле это просто. Я задал первый вопрос только для контраста со вторым).
А замечание Руста не правомерно. С таким же успехом, можно вывести, что прямая не гомеоморфна открытой полупрямой .

[Руст]

Ошибаетесь. Так как при пополнении появляются только те действительные числа х, для которых есть последовательности рациональных чисел стремящихся к х как справа, так и слева. Соответственно по непрерывности пополненным числам соответствует пополненные числа образов.

[Trueman]

Padawan писал(а):

Trueman, а как вы докажите, что интервал не гомеоморфен полуинтервалу? (на самом деле это просто. Я задал первый вопрос только для контраста со вторым).
А замечание Руста не правомерно. С таким же успехом, можно вывести, что прямая не гомеоморфна открытой полупрямой .

Ну для доказательства не гомеоморфности можно использовать инварианты, например, связность, вообщем-то любой учебник по общей топологии поможет в этом. А Руст я так понимаю имел в виду, что пополнение множества рациональных чисел, будет множеством вещественных чисел, и тогда гомеоморфизм продолжится на пополнении причём единственным образом, чтобы соответсвующая диаграмма осталось коммутативной, ну а так как для пополнения показано, что его нет, значит и тут нет. А как вы сможете из этого вывести, что прямая не гомеоморфна открытой прямой?

[Padawan]

Trueman писал(а):

А Руст я так понимаю имел в виду, что пополнение множества рациональных чисел, будет множеством вещественных чисел, и тогда гомеоморфизм продолжится на пополнении причём единственным образом.

Итак, допустим есть гомеоморфизм phi между Q и Q+ (Q+ множество неотрицательных рациональных чисел). Как вы собираетесь продолжать его до гомеоморфизма между R и R+?
P.S. На самом деле Q и Q+ гомеоморфны

[Padawan]

Рассмотрим на Q функцию f(q)=sign(q+sqrt(2)). Она непрерывна на Q, но не может быть продолжена до непрерывной на R.

[Trueman]

Padawan писал(а):

Trueman писал(а):

А Руст я так понимаю имел в виду, что пополнение множества рациональных чисел, будет множеством вещественных чисел, и тогда гомеоморфизм продолжится на пополнении причём единственным образом.

Итак, допустим есть гомеоморфизм phi между Q и Q+ (Q+ множество неотрицательных рациональных чисел). Как вы собираетесь продолжать его до гомеоморфизма между R и R+?
P.S. На самом деле Q и Q+ гомеоморфны

Ну вроде бы ясно, что если есть отображение из Q в Q+, которое переводит сходящуюся последовательность в сходящуюся, тогда задаётся однозначно отображение из R в R+.
Вот вопрос, тогда получается, что Q+ - открытое множество?

[Руст]

Согласен, что Q и Q+ гомеоморфны (ваш пример sign(q+..) легко позволяет разрывать при необходимости и построить такой гомеоморфизм), и R и R+ не гомеоморфны, когда R+ с закрытым концом.

[Trueman]

Я, конечно извинюсь , но что-то ничего не понял, можно подробнее как они гомеоморфны? И что это за функция, это случайно не знак числа?

[Руст]

Дробно линейные преобразования с рациональными коэффициентами позволяют строит гомеорфизмы между конечными и бесконечными интервалами, а указанные функции разрывать и "сшивать".

[Trueman]

Руст писал(а):

Дробно линейные преобразования с рациональными коэффициентами позволяют строит гомеорфизмы между конечными и бесконечными интервалами, а указанные функции разрывать и "сшивать".

А можно по яснее узнать как они гомеоморфны или дайте пожалуйсто ссылку, где это можно прочесть.

[Руст]

На самом деле и эта идея ( разрывать в сопряжённых алгебраических точках и сшивать) так же оказалась не состоятельной. Я не знаю, как построить гомеоморфизм между Q и Q+ с закрытым концом (с нулём). Я ведь не тополог (даже не математик), поэтому не буду вас отвлекать со своими глупыми идеями.

[shwedka]

удалим из прямпй и полупрямой по одной точке (связанных предполагаемым гоимеоморфизмом.) Прямая и полупрямая разобьются на 2 части.
У полупрямой одна из частей имеет компактное замыкание, а у прямой замыкания обеих частей некомпактны.