сигма алгебра, борелевская сигма алгебра.

[Forthegreatprogress]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Эти понятия просто вводят в ужас.
Понятие алгебры худо-бедно разобралось, а эти два остались неприступными.
Цитирую: "Пример 12. Пусть , $\Omega=R$ и пусть $\mathcal{A}$ — множество, содержащее любые конечные подмножества $R$ (т.е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения."
Данное множество является сигма-алгеброй.
Скажите пожалуйста, обязательно ли указывать в определении , что должны содержаться и дополнения. Ведь если $\mathcal{A}$ содержит любые конечные подмножества, то и дополнения сами по себе входят туда.
Например $R\setminus\left\lbrace0,1\right\rbrace =(-\infty,0)\cup(1,\infty)$ так же будет принадлежать $\mathcal{A}$, так как это конечное подмножество $R$.
Это первый вопрос.
''дополнение к множеству вида $R\setminus\mathsf{A}$ для конечных $\mathsf{A}$ совпадает с $\mathsf{A}$и также принадлежит $\mathcal{A}$ по определению''.
Объясните пожалуйста эту строчку. Почему дополнение к множеству будет совпадать с этим множеством ? Абсолютно непонятно.
вот ссылка на этот материал:
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node9.html

[--mS--]

Forthegreatprogress в сообщении #1092756 писал(а):

Данное множество является сигма-алгеброй.

Эту фразу Вы откуда взяли?

Forthegreatprogress в сообщении #1092756 писал(а):

Скажите пожалуйста, обязательно ли указывать в определении , что должны содержаться и дополнения. Ведь если $A$ содержит любые конечные подмножества, то и дополнения сами по себе входят туда.

В карман входит только то, что Вы туда положите. Само по себе ничего никуда не входит. И в $\mathcal A$ точно так же. Обратите внимание - множество $\mathcal A$ пока только описывается. Никто ничего про его свойства не утверждает. Если в множество $\mathcal A$ входят только конечные подмножества, то никакие дополнения к ним туда не входят, и множество $\mathcal A$ ни алгеброй, ни сигма-алгеброй не является.

Forthegreatprogress в сообщении #1092756 писал(а):

Например R \ $\left\lbrace0,1\right\rbrace$$ =(-\infty,0)\cup(1,\infty)$ так же будет принадлежать A, так как это конечное подмножество $R$.

И сколько точек в этом "конечном подмножестве"? Назовите количество.

Forthegreatprogress в сообщении #1092756 писал(а):

''дополнение к множеству вида R\ для конечных $A$ совпадает с $A$ и также принадлежит $A$ по определению''.
Объясните пожалуйста эту строчку. Почему дополнение к множеству будет совпадать с этим множеством ? Абсолютно непонятно.

Дополнение не к этому множеству, а к его дополнению! Если $B=\mathbb R\setminus A$, то $\mathbb R\setminus B=A\in\mathcal A$.

Вы уверены, что Вам это нужно читать?

[Forthegreatprogress]

из той же статьи: В частности множество $(5,\infty)$ принадлежит $\mathcal A$. То есть они это множество считают конечным.

[--mS--]

Forthegreatprogress в сообщении #1092760 писал(а):

из той же статьи: В частности множество $(5,\infty)$ принадлежит $A$. То есть они это множество считают конечным.

Вы уверены, что там написано именно это? Вы знакомы со значком $\cup$? Что он означает?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Forthegreatprogress]

--mS-- в сообщении #1092761 писал(а):

Вы уверены, что там написано именно это? Вы знакомы со значком $\cup$? Что он означает?

объединение.
Объединение будет содержать все элементы каждого подмножества. То есть бесконечности. я вкратце просто написал

[--mS--]

Forthegreatprogress в сообщении #1092760 писал(а):

из той же статьи: В частности множество $(5,\infty)$ принадлежит $\mathcal A$. То есть они это множество считают конечным.

Сравните:

Цитата:

в частности, ... множество $(-\infty, -7{,}2)\cup (-7{,}2,\ 5) \cup (5, \infty)$ также принадлежит $\mathcal A$.

Разницу видите? Дополнением к какому конечному множеству является множество $(-\infty, -7{,}2)\cup (-7{,}2,\ 5) \cup (5, \infty)$?

Нарисуйте числовую прямую. На ней первый интервал, второй и третий. Что будет их объединением? Вся прямая за исключением чего?

-- Чт янв 21, 2016 10:39:07 --

Уверена, что Вам (как и написано у Вас в лекциях и в программе) ничего из этой темы кроме двух определений - алгебры и сигма-алгебры - не требуется знать.

[Forthegreatprogress]

1

[Otta]

Forthegreatprogress
Можно, я задам Вам сразу два вопроса?
1) Что такое конечное множество?
2) Пример 12 - это пример чего?

[Forthegreatprogress]

Otta в сообщении #1092774 писал(а):

Forthegreatprogress
Можно, я задам Вам сразу два вопроса?
1) Что такое конечное множество?
2) Пример 12 - это пример чего?

состоящее из конечного числа элементов.
пример алгебры, не являющейся сигма-алгеброй

-- 21.01.2016, 08:56 --

--mS-- в сообщении #1092772 писал(а):

Нарисуйте числовую прямую. На ней первый интервал, второй и третий. Что будет их объединением? Вся прямая за исключением чего?

вся прямая за исключением 7,2 и 5

-- 21.01.2016, 08:56 --

--mS-- в сообщении #1092772 писал(а):

Нарисуйте числовую прямую. На ней первый интервал, второй и третий. Что будет их объединением? Вся прямая за исключением чего?

вся прямая за исключением 7,2 и 5

[--mS--]

То есть это не конечное множество, а дополнение к конечному множеству $\{7{,}2,\ 5\}$.

[Forthegreatprogress]

да. но ведь там подразумевается именно объединение, а не дополнение.
я не знаю, скорее всего я щас нахожусь в танке , но там явно написаны три объединяющихся интервала , и говорится что они принадлежат исходному конечному множеству.
я знаю, что любой отрезок это бесконечное множество. Просто я думал , что они под бесконечностью подразумевают один любой элемент, находящийся на бесконечности, так как эти три интервала у меня никак не согласовывались с конечным множеством, о котором говорилось в определении. А скобки они напутали. Поэтому ниже писал такую дичь.

[--mS--]

Минусы потеряли. Ещё раз: множество $(-\infty, -7{,}2)\cup (-7{,}2,\ 5) \cup (5, \infty)$ (вот именно это объединение трёх интервалов) на прямой нарисовали? Равенство

$$(-\infty, -7{,}2)\cup (-7{,}2,\ 5) \cup (5, \infty) = \mathbb R \setminus \{-7{,}2; 5\}$$

верно или нет?

Или я Вас совершенно не понимаю.

-- Чт янв 21, 2016 11:04:01 --

Forthegreatprogress в сообщении #1092778 писал(а):

и говорится что они принадлежат исходному конечному множеству.

Не ОНИ, а ОНО - одно множество! Объединение двух множеств - это новое (одно!) множество. Слава богу, поняла, в каком месте проблема

[Forthegreatprogress]

--mS-- в сообщении #1092779 писал(а):

верно или нет?

верно