Вычисление угла между прямой и плоскостью

[Valerius]

Уважаемые коллеги, прошу прощения что без рисунка, попробую на словах.
У объекта в пространстве известны крен и тангаж (дифферент) относительно горизонта. Требуется найти угол наклона этого объекта относительно горизонтали (т.е. угол между нормалью объекта в его местной системе координат и горизонтом).

Для начала попробую интерпретировать эту задачу в более математический вид, как я это вижу: прямая проходит через начало прямоугольной системы координат. Нужно найти угол между этой прямой и плоскостью XoY, если известны углы: между проекцией этой прямой на плоскость XoZ и осью X, между проекцией этой прямой на плоскость YoZ и осью Y.

Вот что делать дальше, не пойму. Не уверен также, что достаточно этих исходных данных.

[provincialka]

Запишите искомое направление в виде вектора $(x,y,z)$. Как выглядят его проекции на "вертикальные" плоскости? Как связаны их координаты и заданные углы?

[Valerius]

provincialka в сообщении #1092345 писал(а):

Запишите искомое направление в виде вектора $(x,y,z)$. Как выглядят его проекции на "вертикальные" плоскости? Как связаны их координаты и заданные углы?

Проекции на "вертикальные" плоскости это же тоже прямые. Даны только их углы относительно "горизонтальной" плоскости, больше ничего, никаких координат.

[svv]

Это распространённый приём в математике: предположим, что некие ключевые величины известны. Это даст возможность установить какие-то связи, а в окончательный ответ эти величины, возможно, и не войдут (что как раз и будет означать, что данных достаточно), но дело своё они уже сделали.

Итак, допустим, Ваша прямая проходит через начало координат $O$, и Вам известны координаты $x, y, z$ некоторой другой точки $A$ на этой прямой. Какими будут координаты проекции $A$ на плоскость $Oxz$, например?

[arseniiv]

Можно и без координат даже. Например, проекция вектора $\mathbf v$ на прямую с единичным направляющим вектором $\mathbf e$ — это $(\mathbf v,\mathbf e)\mathbf e$, где $(,)$ — скалярное произведение. Подобным образом можно записать проекцию на плоскость, а потом выразить угол, а потом…

[Skeptic]

Крен и тангаж задают наклон плоскости, а не прямой, к горизонтальной плоскости.

[Valerius]

Skeptic в сообщении #1092532 писал(а):

Крен и тангаж задают наклон плоскости, а не прямой, к горизонтальной плоскости.

Совершенно верно, так как же вычислить этот наклон, люди добрые?

[svv]

Наша доброта ограничена правилами форума. Здесь нельзя получать готовые решения. Ваши шансы получить ответ очень высоки, если советы и подсказки будут сочетаться с Вашей самостоятельной работой. Задача очень простая. Мы просим Вас сделать первый шаг — ответить на простые вопросы. В математике так всегда: каждый шаг очень прост, а в конце происходит чудо — задача решена.