System in reals

[ins-]

Find all real solutions (x, y) of the system:
\{\begin{aligned} x^{2} - |x|\sqrt {y} - y\sqrt {y} = 0 \\ x^{2} - x(y + 2y\sqrt {y}) + y^{3} = 0 \end{aligned}
such that x \ne 1.

[mihailm]

До каких пор топики на английском без попыток решения будут услужливо обсуждаться, а не отправляться как им и положено в помойку???

[ins-]

My idea was to solve the both equations as quadratic and thus, expressing x in two ways - it is possible to obtain irrational equations for y. By lots of manipulations they are solvable, but seeing the statement - this, probably wasn't the initial idea of the problem's creator.

(Оффтоп)

Regarding Russian - as some of my former colleagues from Russia, reallocated in Bulgaria told "You are like dog - you understand everything but can say nothing". / By the way - the source of this problem is Bulgarian MO, regional round - 1976 /

[mihiv]

Из второго уравнения: $(x-y^{\frac 32})^2=xy$. Так как $y\geq 0$, то и $x\geq 0$.
Очевидно $x=0,y=0$-решение. Пусть теперь $y\ne 0$. Обозначим $t=\dfrac xy$, выразим отсюда $x$ и подставим в систему уравнений, получим:

$$\begin {cases}\sqrt y t^2-t-1=0\\t^2-t(1+2\sqrt y)+y=0\end {cases}$$

Исключив из системы $\sqrt y$, получим уравнение для $t: \sqrt t+t=\frac 1t+\frac 1{t^2}$. Уравнение имеет единственное решение $t=1$, т.к. функция в левой части равенства монотонно возрастает, а в правой -монотонно убывает. Сследовательно, $x=y=4$.

[ins-]

Thank you! I hope you liked the system. There are at least two or three more ways to be solved, but it doesn't make the problem easy.