Задача про монету.

toreto · 22/11/15 124

provincialka в сообщении #1092079 писал(а):

Вернее даже не рекуррентное, а просто уравнение. И не для частичных сумм, а сумм "без начала". То есть, когда суммирование начинается со второго или третьего элемента.
Можно вообще без ряда и без фибоначчи

Спасибо, но я что-то совсем не понял -- неужто уравнение с одной неизвестной?

svv · 23/07/08 10910 Crna Gora

toreto
Вы сами предложили путь решения задачи с помощью нахождения суммы ряда. Да, есть и более короткие пути. Но мне кажется, Вам сейчас стоит об этом не думать, а решить задачу Вашим способом.

Вы записали ряд $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}F_n\;0{,}5^{n+1}$ . Я уже говорил, что мат.ожидание длины последовательности записывается через другой ряд, более сложный, но этот тоже понадобится, и на нём можно потренироваться. Вот что можно сделать. Выделим первое слагаемое.
$S=\frac 1 4+\sum\limits_{n=2}^{\infty}F_n\;0{,}5^{n+1}$
Применим рекуррентную формулу для $n$ -го числа Фибоначчи
$S=\frac 1 4+\sum\limits_{n=2}^{\infty}F_{n-1}\;0{,}5^{n+1}+\sum\limits_{n=2}^{\infty}F_{n-2}\;0{,}5^{n+1}$
Сдвинем в обеих суммах нумерацию, чтобы вернуться к $F_n$ .
$S=\frac 1 4+\sum\limits_{n=1}^{\infty}F_{n}\;0{,}5^{n+2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}F_{n}\;0{,}5^{n+3}$
Во второй сумме учтено, что $F_0=0$ .
Теперь надо в правой части выразить суммы через $S$ и получить уравнение первой степени.