Решения системы алгебраических уранений

[ivvan]

Как можно определить конечность количества решений такой системы:

$$ \begin{cases} T_n(x)T_n(y)=1\\ T_m(x)T_m(y)=1\\ \end{cases}, n\neq m, $$

где $T_n$ - многочлен Чебышёва 1 рода?

[mihiv]

С помощью результанта.

[ivvan]

mihiv в сообщении #1088449 писал(а):

С помощью результанта.

Спасибо за толчок.
Если ничего не напутал, то конечное число решений имеет любая система

$$ \begin{cases} P(x)P(y)=1\\ Q(x)Q(y)=1\\ \end{cases} $$

с многочленами $P$ и $Q$ неравных ненулевых степеней, имеющими только простые корни.

[sergei1961]

Если $x,y\in[-1,1]$ , то всё решается элементарно. Если вне этого отрезка-то сложно.

[mihiv]

ivvan в сообщении #1091253 писал(а):

с многочленами $P$ и $Q$ неравных ненулевых степеней, имеющими только простые корни.

По-моему, единственное ограничение: многочлены $P$ и $Q$ не должны быть равны тождественно.

[sergei1961]

Обычно многочлены Чебышёва используются на отрезке $[-1,1]$. Не очень понятно, зачем они нужны вне этого отрезка. Стандартных приложений вне отрезка я не знаю. А при ограничениях на этот отрезок система решается явно.

[ivvan]

mihiv в сообщении #1091399 писал(а):

По-моему, единственное ограничение: многочлены $P$ и $Q$ не должны быть равны тождественно.

Вот ещё ограничения: $P\neq\pm Q^n,n=0,1,2,\dots$. Нет ли ещё других ограничений?

[sergei1961]

Так где у вас всё-таки лежат аргументы полиномов $x,y$?

[Someone]

sergei1961 в сообщении #1091300 писал(а):

Если $x,y\in[-1,1]$ , то всё решается элементарно. Если вне этого отрезка-то сложно.

Ну, если знать свойства многочленов Чебышёва, то вне отрезка $[-1,1]$ решается ещё проще.

[ivvan]

Someone в сообщении #1091875 писал(а):

вне отрезка $[-1,1]$ решается ещё проще.

То есть для $x\in\mathbb{R}\setminus[-1;1]\wedge y\in\mathbb{R}\setminus[-1;1]$?

-- 18.01.2016, 20:44 --

sergei1961 в сообщении #1091761 писал(а):

Так где у вас всё-таки лежат аргументы полиномов $x,y$?

$x,y\in\mathbb{C}.$

[Someone]

ivvan в сообщении #1091914 писал(а):

$x,y\in\mathbb{C}.$

Даже так…

[ivvan]

Someone
Так я правильно вас понял?

ivvan в сообщении #1091914 писал(а):

То есть для $x\in\mathbb{R}\setminus[-1;1]\wedge y\in\mathbb{R}\setminus[-1;1]$?

[Someone]

Если ищете действительные решения — то да.
Если нужны комплексные, то от моего замечания мало пользы.

[ivvan]

Someone в сообщении #1091989 писал(а):

Если ищете действительные решения — то да.
Если нужны комплексные, то от моего замечания мало пользы.

А если $x\in[-1;1]\wedge y\in\mathbb{R}\setminus[-1;1]$?

[Someone]

Я вообще перестал понимать, что Вы спрашиваете. Я, подразумевая, что Вы ищете действительные решения, всего навсего сказал, что, если $x$ и $y$ лежат вне отрезка $[-1,1]$, то система решается проще (по тривиальным причинам решений не имеет). О других случаях я ничего сказать не хотел.