Из каждой цифры числа можно вычесть одну и ту же цифру...

[Ktina]

Найти все натуральные числа $k$, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа $k^3$ можно вычесть одну и ту же цифру $d\ne 0$ (все цифры его не меньше $d$) и при этом получится $(k-d)^4$.

(по мотивам задачи Московской математической олимпиады)

[worm2]

$k^3>(k-9)^4$
$k<18$
Перебор небольшой, но лень.

[gris]

Хоть пример приведу: $3; 3^3=27; 27-11=16; 16=(3-1)^4$
Жаль, что ограничение на $d$. Снятие ограничения улучшает вид условия, а добавляет всего $1; 1^3=1; 1-0=1;1=(1-0)^4$
Хотелось бы без перебора обойтись.
Можно выписать кубы до $18^3$ и четвёртые степени до $9^4$, потом из каждой цифры каждого числа вычесть его наименьшую цифру
Язык не поворачивается сказать "вычесть цифру", а клавиатура, ничего, терпит. Для каждого числа получим его "колебание". Сравниваем столбики.
"Колебания" одинаковы только у $1^3\sim 1^4; 3^3 \sim 2^4;16^3 \sim 8^4.$
Подходит только $k=3;d=1$.
Мне кажется, что с учётом неравенства worm2 такие расчёты вполне доступны без калькулятора и за небольшое время (т.е. в олимпиадных условиях).

[Ktina]

worm2
gris
Спасибо!

[svv]

worm2 в сообщении #1091682 писал(а):

$k^3>(k-9)^4$
$k<18$.

Так мало того. $17^3=4913$. Поэтому если $10\leqslant k \leqslant 17$, первая цифра $k^3$ не превышает $4$, тогда и $d\leqslant 4$. Тогда для таких $k$ можно усилить требование:
$k^3>(k-4)^4$
— и, взглянув на $10^3<6^4$, убедиться, что ни одно из таких $k$ ему не удовлетворяет. Итак, $k$ — однозначное число. Варианты $k=9$ и $k=8$ (и, хоть не $k=7$, но ещё несколько меньших) аналогичным способом отбрасываются.

[Ktina]

svv
И Вам спасибо!