Изоморфность циклической группы и группы остатков

[timber]

(Оффтоп)

Удивительно! А еще зеркала встречаются кривые. Причем двух видов -- классическое кривое зеркало и "чеховское" зеркало, как в святочном рассказе Антона Павловича "Кривое зеркало".

[Brukvalub]

timber, вы бы, того, в задачу бы поглубже вникали вместо того, чтобы язвить и клясть несовершенство системы образования. Уверяю, так больше пользы случится, если вы - не депутат госдумы.

[timber]

Нет-нет, не депутат. Чур меня, чур!

Извините меня. Давайте продолжим тему в конструктивном русле.

Мне необходимо доказать то, что указано в начале темы. Только без всяких там "проще доказать ...".

Доказательство, как я понимаю, может выглядеть как-то так:
1. $G_1=\left\langle e=a^0, a, a^2, ..., a^{n-1}\right\rangle$ и $G_2=\left\langle 0, 1, 2, ..., n-1 \right\rangle$.
2. Воспользуемся тем, что $a^m \cdot a^k=a^{m+k}=a^l$, где $0 \leqslant m,k,l<n$, тогда и только тогда, когда по модулю $n$ имеет место равенство $m+k=l$.
3. $\varphi : G_1 \rightarrow G_2 =\{0,1,...,n-1 \}$, так что $ \varphi(a^m)=m, \varphi(a^k)=k$, где $0 \leqslant m, k<n$. Тогда $\varphi$ биективно.
4. Изоморфизм: $\varphi(a^m \cdot a^k)=\varphi(a^{m+k}) = m+k = \varphi(a^m) + \varphi(a^k)$.

Если это не является доказательством, то какие пункты ошибочны и почему?

[Brukvalub]

Меня последнее доказательство устраивает.

[timber]

Brukvalub, спасибо! Вы настоящий джентльмен!

Теперь сдам сам себя и "безупречность" собственной логики. Меня доказательство не устраивает тем, что мне малопонятен пункт 3. Я его подсмотрел. А именно, почему мы так легко берем и делаем $ \varphi(a^m)=m$?

[Brukvalub]

timber в сообщении #1091611 писал(а):

А именно, почему мы так легко берем и делаем $ \varphi(a^m)=m$?

См. мои вам здесь указания.

[timber]

Brukvalub в сообщении #1091619 писал(а):

timber в сообщении #1091611 писал(а):

А именно, почему мы так легко берем и делаем $ \varphi(a^m)=m$?

См. мои вам здесь указания.

У Вас здесь было два указания:

Brukvalub в сообщении #1091208 писал(а):

Проще доказать общую теорему: любые две конечные циклические группы одного порядка изоморфны.

Brukvalub в сообщении #1091359 писал(а):

Проще доказать общую теорему: любые две группы, задаваемые, с точностью до обозначений элементов, одинаковым набором образующих и определяющих соотношений, изоморфны.

Эти указания мне тем более не понятны. Не понимаю, как существование отображения $ \varphi(a^m)=m$ может следовать из доказательств этих теорем? Это там упоминается, но не более того. Не говорю про второе Ваше указание, которое для меня семантически недоступно, так как не понимаю, что такое "набор образующих соотношений" и "набор определяющих соотношений".

Например, доказательство первой теоремы (по А.И. Кострикину):



Мне трудно увидеть, где тут очевидно объясняется равенство $ \varphi(a^m)=m$?

[mihailm]

После слов Определим биективное отображение
Там типа 1, который $g'$, который в степени $k$ равен $k$. Понятнее стало?)

(Оффтоп)

Меня в свое время Алексей Иванович своим стилем (что в книгах, что на лекциях) доводил до бешенства. Ну зачем писать простые вещи так замысловато? Чтобы враг не догадался? Спасали книги других авторов.

[timber]

mihailm в сообщении #1091647 писал(а):

После слов Определим биективное отображение

Это вижу.

mihailm в сообщении #1091647 писал(а):

Там типа 1, который $g'$

Это как понимать? То, что вместо $G'$ у нас в данном случае $G_2$?

(Оффтоп)

mihailm, правда, Вам очень повезло ). Вы могли, наверное, просто подойти и побеседовать с Учителем, и вопросы решались моментально. А такие, как я, мучаются. Приходится несколько дней выяснять что к чему, писать много разных букв и цифр. Уже можно какую-нибудь брошюрку сделать с названием "Как успешно научиться математике на форумe dxdy.ru?" $ \textcopyright$. Интересно, какие книги Вас спасали?

[provincialka]

timber в сообщении #1091611 писал(а):

почему мы так легко берем и делаем $ \varphi(a^m)=m$?

Ну, вспомните запись циклической группы в мультипликативной и в аддитивной формах. Ведь циклическая группа порождается одним из своих элементов.
$e,a,a^2,...,a^{n-1}$, причем $a^n=e$. Элемент $a$ порождает группу.
$0,b,2b,... ,(n-1)b$, причем $nb=0$. Элемент $b$ порождает группу.
Ну? И какая разница? Что чему соответствует?
В частности, для группы остатков можем считать, что $b=1$, и вместо $mb$ писать просто $m$

На самом деле эта теорема тривиальная... Вот доказать, что множество ненулевых остатков по простому основанию тоже образует группу... И тоже циклическую... Это посложнее!

Вот вам проверочное задание. Рассмотрим группу остатков отделения на 6 по сложению. Она порождается элементом $1$: $\{0,1,1+1=2, ..., 1+1+1+1+1=5\}$. Будет ли эта группа порождаться каким-нибудь другим своим элементом?

[mihailm]

(Оффтоп)

timber в сообщении #1091650 писал(а):

...mihailm, правда, Вам очень повезло ). Вы могли, наверное, просто подойти и побеседовать с Учителем, и вопросы решались моментально...

На начальных этапах беседами делу не поможешь, беседы с научруком и другими умными людьми начинаются со старших курсов или в аспирантуре...

-- Пн янв 18, 2016 14:27:18 --

(Оффтоп)

timber в сообщении #1091650 писал(а):

...Интересно, какие книги Вас спасали?

Книг много: Скорняков, Ван дер Варден, Курош, Винберг, Шафаревич, Холл, - на все вкусы, посмотрите, может что и понравится

[timber]

provincialka в сообщении #1091659 писал(а):

Рассмотрим группу остатков отделения на 6 по сложению. Она порождается элементом $1$: $\{0,1,1+1=2, ..., 1+1+1+1+1=5\}$. Будет ли эта группа порождаться каким-нибудь другим своим элементом?

По-видимому, нет. Ну это, как я понимаю.

provincialka в сообщении #1091659 писал(а):

Ну, вспомните запись циклической группы в мультипликативной и в аддитивной формах. Ведь циклическая группа порождается одним из своих элементов.
$e,a,a^2,...,a^{n-1}$, причем $a^n=e$. Элемент $a$ порождает группу.
$0,b,2b,... ,(n-1)b$, причем $nb=0$. Элемент $b$ порождает группу.

Для каждой из заданных групп это понятно. Но, почему это вдруг элемент $a^2$ одной группы обязан перейти строго в $2b$ другой группы? Просто потому, что мы так решили, что может быть в том числе и такое? Разве отображения $\varphi(a^m)=k$ не может существовать: $\varphi(e)=b, \varphi(a)=2b, \varphi(a^2)=3b$?

[Otta]

timber в сообщении #1091866 писал(а):

Но, почему это вдруг элемент $a^2$ одной группы обязан перейти строго в $2b$ другой группы?

Не обязан. Мы должны предъявить хоть какое-то отображение с нужными свойствами. Никто не говорил, что оно одно (если оно есть).
Просто обычно выбирают наиболее естественные соответствия, хотя бы потому, что они проще всего описываются.

-- 18.01.2016, 21:06 --

timber в сообщении #1091866 писал(а):

По-видимому, нет. Ну это, как я понимаю.

А как Вы проверяли?

[timber]

Otta в сообщении #1091868 писал(а):

А как Вы проверяли?

Каждый из элементов $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ тогда должен быть образован операцией сложения по $\bmod 6$ каким-то другим элементом отличным от единицы. Но, я не представляю, что это за элемент кроме единицы, так как результатом сложения будет всегда какое-то число кратное выбранному элементу. Ну, например, как из $2$ и $4$ заданной операцией получить элементы $1, 3, 5$. Невозможно.

[arseniiv]

timber в сообщении #1091895 писал(а):

Ну, например, как из $2$ и $4$ заданной операцией получить элементы $1, 3, 5$. Невозможно.

Зато из $5$ можно. А в циклической группе простого порядка — вообще из любого неединичного можно получить.