2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение15.01.2016, 19:56 


04/03/15
48
Возникла задача определить радиус сегмента по его высоте и хорде.
В моем карманном справочнике по математике были только формулы для вычисления высоты и хорды / радиуса.
Но в обеих формулах присутствует величина угла сегмента.
Графически задача эта решается элементарно
Изображение

Однако википедия предлагает вот такую формулу
$R=h/2+c^2/8h$

Казалось бы все прекрасно - формула есть - радуйся жизни.
Но википедия не предлагает (и не должна) вывода этой формулы.
Пробовал сам по треугольникам $GEF$, $DEC$, $GFC$
Не получается.

Если кто-то знает ресурс где показан вывод этой формулы поделитесь, пожалуйста, ссылкой.
Или надоумьте, с чего начинать вывод формулы.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение15.01.2016, 20:30 
Заслуженный участник


23/07/08
9152
Харьков
Запишите теорему Пифагора для треугольника $GDC$, подставив
$|GD|=R-h$
и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение15.01.2016, 20:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
timtam в сообщении #1091052 писал(а):
Или надоумьте, с чего начинать вывод формулы.
Просто понаписать уравнений для всех имеющихся треугольников и начать тащить оттуда интересующую величину. Хотя, в принципе, сейчас уже вижу стратегию: вот у нас известен треугольник $\triangle DEC$, а значит, известен и угол $\angle GEC$, и основание $CE$ равнобедренного треугольника с боковой стороной, которая вас интересует. Это всё получается само собой «размоткой» того, что связано с начальными и конечными данными.

Нельзя сказать, что стратегия универсальная — нет, все задачи не решаются одинаково просто, но пробовать эту штуку стоит всегда, если только не уверены по каким-то признакам, что она не сработает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение15.01.2016, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
timtam,
а я сделал так. Обозначил половину угловой величины сегмента $\alpha$. Записал выражения для высоты сегмента
$h=R(1-\cos(\alpha))$
и его ширины
$c=2R\sin(\alpha)$.
Выразил из этих уравнений синус и косинус и подставил полученные выражения в основное тригонометрическое тождество.
После упрощения результата получилось как в Википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение16.01.2016, 00:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Предложу ещё вариант: $\triangle ECD\sim\triangle EGF$, т.к. вписанный угол равен половине центрального.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение16.01.2016, 04:58 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
Наконец, самый тупой и потому универсальный способ: провести как-нить оси координат и воспользоваться методами аналитической геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение16.01.2016, 06:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7940
Москва
$R^2=(R-h)^2+(\frac c 2)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение16.01.2016, 08:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Евгений Машеров в сообщении #1091146 писал(а):
$R^2=(R-h)^2+(\frac c 2)^2$

Повтор:
svv в сообщении #1091056 писал(а):
Запишите теорему Пифагора для треугольника $GDC$, подставив
$|GD|=R-h$
и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы радиуса сегмента
Сообщение16.01.2016, 15:03 


04/03/15
48
Всем спасибо.
Действительно все очень просто.
Сказывается отсутствие навыков )

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group