Изоморфность циклической группы и группы остатков

[timber]

Помогите, пожалуйста, понять как решить такую задачу. Запутался.

Необходимо доказать, что любая циклическая группа порядка $n$ изоморфна группе остатков при делении на $n$ с операцией сложения по модулю $n$.

Идея 1:
1. $G_1=\left\langle e=a^0, a, a^2, ..., a^{n-1}\right\rangle$ и $G_2=\left\langle 0, 1, 2, ..., n-1 \right\rangle$.
2. Установим биекцию. $a^m \cdot a^k=a^{m+k}=a^l$$, где $0 \leqslant m,k,l<n$, тогда и только тогда когда по модулю $n$ имеет место равенство $m+k=l$.
3. $\varphi(a^m \cdot a^k)=\varphi(m) + \varphi(k) = \varphi(m) \cdot \varphi(k) $.

Идея 2.
2. Найти еще одну группу $G_3$ изоморфную $G_1$ и $G_2$, так чтобы $\varphi_1:G_1 \to G_3$ и $\varphi_2: G_3 \to G_2$.
3. $\varphi_2 \varphi_1:G_1 \to G_2$ также изоморфизм.

[mihailm]

timber в сообщении #1091174 писал(а):

...2. Установим биекцию...

между чем и чем?

[provincialka]

А зачем "ещё одну" группу? Что, $G_1$ разве не "любая"?

[timber]

mihailm в сообщении #1091181 писал(а):

timber в сообщении #1091174 писал(а):

...2. Установим биекцию...

между чем и чем?

$G_1$ и $G_2$

[iifat]

Как бы это намекнуть, чтоб не нарушить правила Биекция — взаимно однозначное соответствие, сопоставляющее элементам одного множества элементы другого. Вы такового не продемонстрировали. Соответственно, свойства чего именно вы доказываете, неясно.

[timber]

iifat в сообщении #1091184 писал(а):

Как бы это намекнуть, чтоб не нарушить правила Биекция — взаимно однозначное соответствие, сопоставляющее элементам одного множества элементы другого. Вы такового не продемонстрировали. Соответственно, свойства чего именно вы доказываете, неясно.

То есть, если продемонстрировать биекцию, то Идея 1 будет верным решением?

[svv]

Смотря какую биекцию. Я могу придумать такую биекцию между Вашими группами, которая не сохраняет групповую операцию. Докажите, что Ваша — сохраняет, а для этого её надо продемонстрировать.

[timber]

svv в сообщении #1091190 писал(а):

Я могу придумать такую биекцию между Вашими группами, которая не сохраняет групповую операцию.

Придумайте и покажите, пожалуйста, такую биекцию на примере. Думаю, что мне может стать тогда более ясно.

[svv]

Есть две циклические группы, $G_a=\langle e_a, a, a^2 \rangle$, $G_b=\langle e_b, b, b^2 \rangle$. Я устанавливаю биекцию так:
$\varphi(e_a)=b$
$\varphi(a)=b^2$
$\varphi(a^2)=e_b$
Это изоморфизм?

[timber]

svv в сообщении #1091194 писал(а):

Это изоморфизм?

Нет. Так как, например, $e_a \cdot a = a$ и тогда $[\varphi(e_a \cdot a) = \varphi(a) = b^2] \ne [e_b = b \cdot b^2 = \varphi(e_a) \cdot \varphi(a)]$.

Что, если рассмотреть логарифм элементов в качестве отображения?

[Brukvalub]

Проще доказать общую теорему: любые две конечные циклические группы одного порядка изоморфны.

[iifat]

timber в сообщении #1091187 писал(а):

если продемонстрировать биекцию

Если продемонстрировать биекцию, можно будет попробовать доказать, что она сохраняет некие соотношения. Если получится, вот он, изоморфизм. Это просто первый шаг, за которым необходимо сделать ещё один и так далее. Но со второго шага, как у вас, шагать как-то не принято.

Brukvalub в сообщении #1091208 писал(а):

Проще доказать общую теорему

Ну и как вы будете доказывать эту теорему? Дайте угадаю: зададите биекцию и докажете, что она и есть тот самый желанный изоморфизм, не?

[timber]

1. $G_1=\left\langle e=a^0, a, a^2, ..., a^{n-1}\right\rangle$ и $G_2=\left\langle 0, 1, 2, ..., n-1 \right\rangle$.
2. Установим биекцию. (?) Определим $\varphi : G_1 \rightarrow G_2 =\{0,1,...,n-1 \}$, так что $ \varphi(a^m)=m, \varphi(a^k)=k$, где $0 \leqslant m, k<n$. Тогда $\varphi$ биективно.
3. $\varphi(a^m \cdot a^k)=\varphi(a^{m+k}) = m+k = \varphi(m) + \varphi(k) = \varphi(m) \cdot \varphi(k) $.

[iifat]

А почему у вас во второй строчке $\varphi(a^m)=m$, а в третьей $\varphi(m)=m$?

[timber]

iifat в сообщении #1091237 писал(а):

А почему у вас во второй строчке $\varphi(a^m)=m$, а в третьей $\varphi(m)=m$?

Это конечно ошибка.

3. $\varphi(a^m \cdot a^k)=\varphi(a^{m+k}) = m+k = \varphi(a^m) + \varphi(a^k) = \varphi(a^m) \cdot \varphi(a^k) $.

Таким образом будет все верно и можно считать доказательством?