2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два неравенства 3-й степени
Сообщение14.01.2016, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
568
so dna
Докажите для $x,y,z\geqslant0$:

$x^3+y^3+z^3+3(x-y)(y-z)(z-x)\geqslant3xyz$

$x^3+y^3+z^3+5xyz\geqslant(x+y)(y+z)(z+x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства 3-й степени
Сообщение15.01.2016, 19:25 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Второе неравенство можно переписать в виде $x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y) \ge 0.$
Не уменьшая общности можно считать, что $x \le y \le z.$ Тогда $x(x-y)(x-z) \ge 0$ и $y(y-x)(z-y) \le z(z-x)(z-y),$ т.е. $y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y) \ge 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства 3-й степени
Сообщение15.01.2016, 21:14 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Первое неравенство перепишем так:
$(x+y+z)\sum\limits_{cyc}(x-y)^2\geq6(x-y)(x-z)(y-z)$ и после использования AM-GM остаётся доказать, что
$(x+y+z)^3\geq8(x-y)(x-z)(y-z)$ или $\sum\limits_{cyc}(x^3-5x^2y+11x^2z+2xyz)\geq0$, что очевидно поскольку
$x^2-5xy+11y^2\geq0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства 3-й степени
Сообщение15.01.2016, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
568
so dna
hippie верно! Ваш способ можно использовать и для доказательства первого неравенства (я их доказывал так же). arqady все верно! Спасибо! :D В вашем доказательстве фигурировала сумма $\sum\limits_{cyc}(x-y)^2$. Поэтому стоит отметить и такие способы доказательства:

$x^3+y^3+z^3+3(x-y)(y-z)(z-x)-3xyz=\sum\limits_{cyc}(x-y)^2\frac{x(x^2+z^2+4xz+3yz)}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}$

$x^3+y^3+z^3+5xyz-(x+y)(y+z)(z+x)=\sum\limits_{cyc}(x-y)^2\frac{xy(x+y)}{(x+z)(y+z)}$
По-моему все однородные неравенства 3-й степени 3-х переменных, доказуемые методом hippie можно разложить в подобные суммы. Вот только как такое доказать? Или построить контрпример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства 3-й степени
Сообщение16.01.2016, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
568
so dna
Еще неравенство из той же серии. Для $x,y,z\geqslant0$ докажите, что

$2017(x^3+y^3+z^3) +3\cdot2015xyz\geqslant 2016(xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства 3-й степени
Сообщение16.01.2016, 12:32 


30/03/08
196
St.Peterburg
Rak so dna в сообщении #1091165 писал(а):
Еще неравенство из той же серии. Для $x,y,z\geqslant0$ докажите, что

$2017(x^3+y^3+z^3) +3\cdot2015xyz\geqslant 2016(xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x))$


Неравенство Шура :$$ x^3+y^3+z^3 +3xyz \ge xy(x+y)+yz(z+y)+zx(z+x)$$

И AM-GM: $$x^3+y^3+z^3 -3xyz \ge 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два неравенства 3-й степени
Сообщение16.01.2016, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
568
so dna
Sergic Primazon верно :D 8-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group