Точечный светофор

[Ktina]

При каких натуральных $n$ можно отметить на плоскости $n$ красных, $n$ жёлтых и $n$ зелёных точек так, чтобы для каждой красной точки ближайшей к ней оказалась жёлтая, для каждой жёлтой точки ближайшей к ней оказалась зелёная, а для каждой зелёной точки ближайшей к ней оказалась красная?

[arseniiv]

(Жалко, нельзя счётное $n$. Очень красивый бесконечный светофор имеется.)

[Ktina]

arseniiv
Почему же нельзя? Ничто не мешает расширить условие до бесконечных множеств точек.

[arseniiv]

Тогда страшно получится. Лучше в этой теме и правда оставить конечные.

[Ktina]

arseniiv
У Вас в счётном варианте все на одной прямой? Тогда и вправду детский сад

[atlakatl]

Ktina
Точнее, все на одной кривой. Хоть на спирали с увеличивающимся шагом.

[arseniiv]

А вот если взять континуум точек — уже, кажется, и никак (про возможные промежуточные мощности лучше не будем, а больше континуума на плоскость не влезет ).

[NSKuber]

Вернёмся к конечному случаю.
Ни при каких $n$. Пусть требуемое расположение существует. Возьмём произвольную, например, красную точку, пометим её $A_1$. Ближайшую к ней (жёлтую) пометим $A_2$. Ближайшую к $A_2$ (зелёную) пометим $A_3$. Из условия "ближайшности" заключаем, что расстояние от $A_2$ до $A_3$ меньше, чем от $A_1$ до $A_2$. Продолжая цепочку, в силу конечности числа точек, мы рано или поздно зациклимся, пусть после $A_n$ снова идёт $A_1$. Тогда расстояние от $A_n$ до $A_1$ меньше, чем от $A_1$ до $A_2$, противоречие.

[slavav]

Я согласен - таких $n$ нет. Отношение "быть ближайшим" порождает граф (направленный) ближайших соседей. В этом графе есть кратчайшее ребро. Его концы взаимно-ближайшие. То есть это ребро есть пара противоположно направленных рёбер. А условие запрещает такие пары.

[Sender]

Кстати, а равносторонний треугольник с точками различных цветов в вершинах не удовлетворит условию? Казалось бы, для любой точки найдётся ближайшая требуемого цвета.

[Aritaborian]

Так же неинтересно. Подразумевается, что ближайшая к красной точке — жёлтая и только жёлтая (или несколько только жёлтых) etc.

[slavav]

Если признать треугольник пригодным, то для любого $n$ правильный $3n$-угольник решает задачу. Неинтересно.

[atlakatl]

$n=2$

Да, не получается. Последний шаг всё портит.

[Sender]

Aritaborian в сообщении #1090942 писал(а):

Так же неинтересно.

В другой трактовке ненамного интереснее - достаточно рассмотреть две ближайшие друг к другу точки.