Теорема Коши о среднем значении. Док-во. Почему именно так?

[Atom001]

Здравствуйте!
Для доказательства теоремы Коши вводят вспомогательную функцию

$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$$

при этом утверждают, что мы рассматриваем эту функцию только потому, что она полностью удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Однако почему именно эта функция рассматривается. Я вот рассмотрел функцию такую

$$G(x)=(f(x)-f(a))^2-\frac{(f(b)-f(a))^2}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$$

Функция $G(x)$ так же, как и $F(x)$ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Значит существует такая точка $C$, что $G'(C)=0$
Тогда можно утверждать, что теорема Коши говорит о выполнении такого равенства:

$$\frac{f'(C)}{g'(C)}=\frac{(f(b)-f(a))^2}{2(g(b)-g(a))(f(C)-f(a))}$$

А ведь таких функций, как $F(x)$ и $G(x)$ можно составить бесконечное множество. Значит есть много соотношений. И, получается, все они верны?

А ещё если взять левые части двух таких равенств (отношения производных) и приравнять, то получатся некоторые новые интересные соотношения. Они тоже, выходит, верны. Да?
Например, рассмотрев функции $F(x)$ и $G(x)$ и получив для них равенства теоремы Коши и приравняв левые части, можно получить

$$f(b)+f(a)=2f(C)$$

Это равенство верно? Я это равенство проверить не могу, потому что не знаю, как найти точку $C$.

[arseniiv]

Atom001 в сообщении #1090669 писал(а):

А ещё если взять левые части двух таких равенств (отношения производных) и приравнять

…то надо не забыть, что в них в общем случае разные $C$.

[Atom001]

arseniiv в сообщении #1090674 писал(а):

…то надо не забыть, что в них в общем случае разные $C$.

Ах, да... Это я уже упустил. Тогда последняя часть моего сообщения теряет смысл.
Однако всё жё существует воз теорем Коши о среднем значении. Выходит, выбирай любую?

[arseniiv]

Если всё правильно, то да. Но не все же они одинаково полезны!

[Atom001]

arseniiv в сообщении #1090679 писал(а):

Если всё правильно, то да.

Ясно. Спасибо!

arseniiv в сообщении #1090679 писал(а):

Но не все же они одинаково полезны!

Разумеется. Но главное, что все они работают.

[demolishka]

Atom001 в сообщении #1090677 писал(а):

Однако всё жё существует воз теорем Коши о среднем значении. Выходит, выбирай любую?

Теорема Коши о среднем значении одна. Она имеет прозрачный геометрический смысл и кучу приложений. Более того, особенно важно ее следствие - формула конечных приращений.

Те соотношения, которые получаете Вы, конечно верны, но бесполезны, по крайней мере до тех пор, пока вы не представите общественности их значимость.

[sergei1961]

А мысль то-интересная!

[Atom001]

demolishka, полностью с Вами согласен.


Кстати, а связь между точками $C$ ведь может оказаться закономерной. Надо всё же попробовать определить $C$. Тогда, быть может, найдутся новые соотношения, о которых я говорил в первом сообщении. И, возможно, эти соотношения будут полезными в некоторых ситуациях.

[alcoholist]

Atom001 в сообщении #1090706 писал(а):

Кстати, а связь между точками $C$ ведь может оказаться закономерной.

Точка $C$, конечно, существует для любой функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля. Но она не единственна.

[Atom001]

alcoholist в сообщении #1090879 писал(а):

Точка $C$, конечно, существует для любой функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля. Но она не единственна.

Чем дальше в лес...

[sergei1961]

Логику можно обратить. И тогда теоремы Лагранжа, Коши, и подобные обобщения можно рассматривать как один из способов определения самих средних значений от двух чисел. Вот почему идея мне кажется интересной.

[Otta]

sergei1961 в сообщении #1091314 писал(а):

И тогда теоремы Лагранжа, Коши, и подобные обобщения можно рассматривать как один из способов определения самих средних значений от двух чисел.

Каким образом? Ни одна из них не конструктивна.

[sergei1961]

Очень даже конструктивна!
А Вы запишите теорему Лагранжа для простейшей функции $f=x^2$:

$$y^2-x^2=2s(x,y)(y-x).$$

Выразите отсюда среднее значение $s(x,y)$. Ничего не напоминает? Точно также и все остальные стандартные средние получаются в явном виде. В общем случае средние выражаются с помощью функции, обратной к производной. Так же используется и теорема Коши.
Просто я занимаюсь средними, в этой теории такой способ их получения-это общее место. Любая "теорема о среднем", содержащая средние значения, может быть развёрнута для получения самих средних.

[Brukvalub]

sergei1961, речь идет о том, что все как в известном из фильма анекдоте: "Могу купить ишака, но не хочу. Хочу купить машину Волга, но не могу".
Иными словами, для уже известных классических средних и всех конкретных вновь вводимых средних теорема Лагранжа не нужна, здесь она - притянутая за уши банальность, а в общем случае т. Лагранжа утверждает только существование "средней" точки, но не дает рецепта ее вычисления.

[sergei1961]

Brukvalub -при всём уважении к Вам я хотел бы немного поспорить. О чём? Понимание связи между теоремой Лагранжа как таковой, и тем, что это метод построения средних, позволяет по-новому понять некоторые самые элементарные теоремы Анализа. Вот, например, задача, которая мне очень нравится из элементарного первокурсного анализа.
Применим теорему Лагранжа к логарифму. Получим $\ln y - \ln x =\frac{1}{s(x,y)} (y-x)$. Что даёт стандартная теорема Лагранжа из учебников? Только что $x<s(x,y)<y$, и всё. Оказывается, это расположение среднего на отрезке между двумя заданными числами можно существенно уточнить. Для этого надо знать, что в данном случае среднее $s(x,y)$ - это известное среднее логарифмическое

$$ s(x,y)=L(x,y)=\frac{\ln y - \ln x}{y-x},$$

для которого справедливы элементарные оценки $x\leq L(x,y) \leq \frac{x+y}{2}, x<y.$ Таким образом, стандартная теорема Лагранжа утверждает только, что среднее значение лежит на отрезке между заданными числами, на самом деле оказывается, что оно лежит строго на левой половине этого отрезка! Я не знаю, как это увидеть из самой теоремы Лагранжа. Если пойти далее, то справедливы предельно точные в терминах средних неулучшаемые оценки Тибора Радо

$$ \sqrt{xy} \leq L(x,y) \leq (\frac{x^{1/3}+y^{1/3}}{2})^3. $$

Для других элементарных функций-свои оценки получаются, начало длинного пути, отталкиваясь от классической теоремы, которая, как часто бывает, может дать гораздо больше, чем кажется с первого взгляда...