Магнитная индукция в центре контура

[Nineor]

Ток $I$ течет по плоскому контуру, радиус $r$ которого зависит от угла $\varphi$ по закону $r=r_{0}(1+\frac{\varphi}{10})$.

Как найти магнитную индукцию $B$ в центре контура? Я подставил в формулу для нахождения магнитной индукции поля в центре кругового тока радиусом $r$ и получил $B=\frac{\mu _{0}I}{2r_{0}(1+\frac{\varphi}{10})}$, но будет ли данный контур считаться круговым, чтобы можно было применить эту формулу?

[Mihr]

Nineor в сообщении #1090595 писал(а):

Я подставил в формулу для нахождения магнитной индукции поля в центре кругового тока радиусом $r$ и получил $B=\frac{\mu _{0}I}{2r_{0}(1+\frac{\varphi}{10})}$, но будет ли данный контур считаться круговым, чтобы можно было применить эту формулу?

Нет не будет.
Используйте закон Био-Савара-Лапласа и операцию интегрирования. В ответе у Вас $\varphi$ остаться не должно.

[Nineor]

Mihr в сообщении #1090597 писал(а):

Нет не будет.
Используйте закон Био-Савара-Лапласа и операцию интегрирования. В ответе у Вас $\varphi$ остаться не должно.

Тогда на что заменить $dl$? Надо будет принять его равным $dl=r_{0}d\varphi $?

[svv]

Nineor в сообщении #1090595 писал(а):

Ток $I$ течет по плоскому контуру, радиус $r$ которого зависит от угла $\varphi$ по закону $r=r_{0}(1+\frac{\varphi}{10})$.

Поясните, пожалуйста, что за контур такой, какую форму он имеет?

[Nineor]

svv в сообщении #1090605 писал(а):

Поясните, пожалуйста, что за контур такой, какую форму он имеет?

Что-то вроде спирали:

[Mihr]

Nineor в сообщении #1090601 писал(а):

Тогда на что заменить $dl$? Надо будет принять его равным $dl=r_{0}d\varphi $?

Нет, не совсем так. Во-первых, почему именно $r_{0}$, а не $r$? Ведь в разных точках контура расстояние до его "центра" различно. Во-вторых, нужно учесть и приращение радиуса. Попробуйте выделить бесконечно малый элемент дуги в виде прямого отрезка и постройте на нём прямоугольный треугольник так, чтобы сам элемент $dl$ был гипотенузой, а его катетами были $dr$ и $rd\varphi$. Тогда, пользуясь теоремой Пифагора, записать значение $dl$ будет легко.

-- 14.01.2016, 16:45 --

Впрочем, можно отдельно значение $dl$ и не искать: так даже проще. Если записать, согласно закону Био-Савара-Лапласа, значение $dB$ и выделить в нём произведение $dl$ на синус угла между $dl$ и $r$, то действительно получается сразу $rd\varphi$. Но всё же не $r_0d\varphi$.

[svv]

Nineor, спасибо.
Извините, что мешаю , но должен заметить: интегрировать с помощью Био-Савара-Лапласа по подобным контурам, в которых ток появляется неизвестно откуда и исчезает неизвестно куда — крайне нехорошо. Природа отомстит за такое действие тем, что полученное поле $\mathbf B$ не будет иметь физического смысла. В частности, $\operatorname{rot}\mathbf B$ не будет равен нулю даже в точках, не принадлежащих контуру и далёких от него. Несуществующий контур $\Rightarrow$ невозможное поле. Разве что в задаче подразумевается только искусственно выделенная часть полного поля.

[Mihr]

svv,
но что делать, если таковы условия задачи? Можно решать иначе, более "осмысленно"? Так, чтобы природа не отомстила?

[Munin]

svv в сообщении #1090623 писал(а):

Извините, что мешаю :mrgreen: , но должен заметить: интегрировать с помощью Био-Савара-Лапласа по подобным контурам, в которых ток появляется неизвестно откуда и исчезает неизвестно куда — крайне нехорошо. Природа отомстит за такое действие тем, что полученное поле $\mathbf B$ не будет иметь физического смысла.

Чтобы спасти ситуацию, можно подвести ток из бесконечности по проводам, которые идут строго по радиусам.

Но в целом замечание совершенно правильное: чтобы задача была поставлена корректно, в условиях должны выполняться все законы сохранения, в частности закон сохранения заряда.

[Mihr]

Munin в сообщении #1090629 писал(а):

Чтобы спасти ситуацию, можно подвести ток из бесконечности по проводам, которые идут строго по радиусам.

Или дополнить радиальным отрезком провода, замыкающем концы контура (по линии "из точек" на приведённом рисунке). В этот же отрезок можно вставить и источник тока.

[Munin]

Mihr в сообщении #1090630 писал(а):

Или дополнить радиальным отрезком провода, замыкающем концы контура (по линии "из точек" на приведённом рисунке).

В данном случае, это одно и то же. (Два провода, по которым ток течёт в противоположные стороны, "сокращают" друг друга.)

А если такой отрезок не будет радиальным, то добавлять его нельзя.

[Nineor]

Mihr в сообщении #1090615 писал(а):

Впрочем, можно отдельно значение $dl$ и не искать: так даже проще. Если записать, согласно закону Био-Савара-Лапласа, значение $dB$ и выделить в нём произведение $dl$ на синус угла между $dl$ и $r$, то действительно получается сразу $rd\varphi$. Но всё же не $r_0d\varphi$.

Спасибо, примерно что-то в этом духе я и имел ввиду, но до конца сам не знал как должно быть...

svv, думаю в условиях данной задачи главное просто найти уравнение, чем смотреть имеет ли оно смысл.

[peripatetik]

А откуда известно, что берется только один виток? Будет повеселее, если их взять бесконечно много...

[Nineor]

peripatetik в сообщении #1090718 писал(а):

А откуда известно, что берется только один виток? Будет повеселее, если их взять бесконечно много...

Просто к задаче шёл рисунок похожий на тот, что я скинул выше.

[peripatetik]

А... Тогда Вам надо честно сосчитать криволинейный интеграл по контуру, схитрить, вроде не удается. То, что Вы получите будет, как уже было сказано, не магнитное поле в центре витка, а его часть, порожденная током в самом витке.