Леонтьев А.Ф. Равномерная сходимость

[RikkiTan1]

Доброго времени суток!
В учебнике "Целые функции. Ряды экспонент" Леонтьева есть такое

Немного позже область определения расширяется

Т.е. если например взять произведение, где $u_1\equiv-1, u_n(z)\equiv\frac{1}{n},n>1$, то оно получается сходящимся равномерно, но не поточечно.
Потому что энная частичная сумма тождественно равна нулю, поэтому равномерно. А бесконечно произведение $(1+\frac{1}{n})$ расходится, поэтому не поточечно.
Напишите, пожалуйста, немного подробнее, как вводится определение равномерной сходимости в области, если есть функции $u_k(z)=-1$

[Otta]

RikkiTan1 в сообщении #1090559 писал(а):

то оно получается сходящимся равномерно, но не поточечно.

Ну как это может быть, если оно от переменной не зависит. Поэтому если уж равномерно, то поточечно, и наоборот.
И вообще, указывайте множество, когда говорите о равномерной сходимости.

[RikkiTan1]

У меня получилось бесконечное произведение $\prod\limits_{k=1}^\infty(1+u_k(z))$, где $u_1\equiv-1, u_k=\frac{1}{n},k>1$ сходится равномерно во всей комплексной плоскости. Но не сходится ни в одной точке.

RikkiTan1 в сообщении #1090559 писал(а):

Потому что энная частичная сумма тождественно равна нулю, поэтому равномерно.

для любой области.
А $\prod\limits_{k=2}^\infty(1+\frac{1}{n})$ расходится и от $z$ не зависит, поэтому расходится для любого $z$.

[Otta]

RikkiTan1 в сообщении #1090567 писал(а):

$\prod\limits_{k=1}^\infty(1+u_k(z))$, где $u_1\equiv-1, u_k=\frac{1}{k},k>1$ сходится равномерно во всей комплексной плоскости. Но не сходится ни в одной точке.

Ну вот это как? Поясните.
Если оно расходится в каждой точке, то каким образом и куда оно будет сходиться равномерно?

[RikkiTan1]

Берем любую область $D\subset C$ - комплексная плоскость.
Для любого эпсилон больше нуля, для любого $z\in D$ существует $N_0=1$ такой что, для всех $n>N_0$
$P_n=(1-1)(1+\frac{1}{2})...(1+\frac{1}{n})\equiv 0$<эпсилон. Т.е. последовательность сходится равномерно в $D$
Теперь делаем как написано у Леонтьева. Выкидываем первый член последовательности, который равен $-1$ и смотрим сходится ли произведение
$\prod\limits_{k=2}^\infty(1+\frac{1}{n})$
Это произведение расходится.

[NSKuber]

RikkiTan1
Ваша последовательность не удовлетворяет определению равномерной сходимости. От требования отличности всех функций от $-1$ в приложенных двух вырезках нигде не отказываются, говоря о равномерной сходимости.

[Otta]

NSKuber в сообщении #1090576 писал(а):

Ваша последовательность не удовлетворяет определению равномерной сходимости. От требования отличности всех функций от $-1$ в приложенных двух вырезках нигде не отказываются, говоря о равномерной сходимости.

Да нет, по контексту там обычное определение, без оговорок: равномерная сходимость последовательности из произведений, в любом случае.

RikkiTan1
Я посмотрела эту главу, почти всю. У меня сложилось впечатление, что автор просто не счел нужным оговаривать вырожденный случай, когда произведение, очевидно, нулевое на всей плоскости, поскольку нулевой один из множителей. Интерес представляет, в том числе и в дальнейшем, когда нули встречаются изолированно.