Числа в клетках (полунедозревшаяся задача)

[Ktina]

(по мотивам задачи Женодарова Р.Г.,
позже объясню, почему полунедозревшаяся)

Доказать, что в клетках таблицы $5\times 5$ нельзя записать числа так, чтобы сумма соседей у каждого числа была равна 1 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).

[NSKuber]

Лень рисуночки грузить, так распишу.
Обозначим элементы таблицы $a_{ij}$. Пусть можно записать. Рассмотрим левый верхний угол. У $a_{11}$ два соседа, поэтому $a_{12}+a_{21}=1$. Они же являются соседями $a_{22}$, поэтому $a_{32}+a_{23}=0$. Пусть $a_{32}=b$, $a_{23}=-b$. Рассмотрев правый верхний угол, аналогично получаем, что $a_{34}+a_{23}=0$, откуда $a_{34}=b$. Наконец, с помощью любого из нижних углов получим $a_{43}=-b$.
Таким образом, $a_{23}+a_{32}+a_{34}+a_{43}=0$, а это и есть соседи $a_{33}$, противоречие.

[iancaple]

Перфекционизм и поиск симметрии:
Вот это место

NSKuber в сообщении #1089606 писал(а):

Рассмотрев правый верхний угол, аналогично получаем, что $a_{34}+a_{23}=0$, откуда $a_{34}=b$.

можно пропустить, и сразу правый нижний угол, по тексту

[Ktina]

NSKuber
iancaple
Спасибо!

У меня доказательство несколько иное получилось:

Одинаковыми цифрами обозначены клетки, дающие в сумме 1.
На левой катринке общая сумма на 7 больше, чем в трёх незаполненных клетках, а на правой - на 8. Противоречие.

Теперь обещанное объяснение, почему полунедозревшаяся. У товарища Женодарова была вот эта задача. Мне захотелось придумать аналог для таблицы $5\times 5$, но по ходу дела обнаружилось (вышеописанным методом), что такой таблицы не существует.

[iancaple]

А методом NSKuber обнаруживаем, что таблицы $6\times 6$ существуют, причем 6-параметрические. Задавая $a_{12}=x,a_{23}=y,a_{34}=z$, все клетки таблицы, которые одного цвета при шахматной раскраске, определяются однозначно. Для другого цвета независимо и аналогично. Это позволяет вычислить, например, сумму всех чисел в таблице, если кто хочет.
Похоже, можно доказать, что нечетного размера таблиц нет, а четного есть?

[Ktina]

iancaple в сообщении #1090021 писал(а):

Похоже, можно доказать, что нечетного размера таблиц нет, а четного есть?

Для этого частные случаи (3, 5, 7, ...) необходимо обобщить.
Лично у меня покамест и тени понятия нет, как осуществить подобное обобщение.

[NSKuber]

iancaple в сообщении #1090021 писал(а):

Похоже, можно доказать, что нечетного размера таблиц нет, а четного есть?

Ясно как доказать: идём от одного (допустим, левого верхнего) угла к правому нижнему, каждый раз заполняя побочные диагонали либо парами $a, -a$, либо парами $x, 1-x$, чтобы чтобы сумма была равна единице. В чётном случае всё сойдётся, а в нечётном мы получим, что у противоположного угла соседи дают в сумме ноль.
Иллюстрация идеи:

[iancaple]

таблицы с четной длиной стороны существуют хотя бы такие: