Доказательство тождества, три взаимно простых числа

[Turtur]

Задача:

Цитата:

Докажите, что для каждого нечётного k>1 существуют три взаимно простых в совокупности натуральных числа $A$, $B$, $C$ таких, что $A^2+2B^2+4C^2=3^k$.

Пожалуйста, подскажите идею решения - никак не могу сдвинуться.

[Someone]

Попробуйте подобрать для $k=3$.

-- Вс янв 10, 2016 13:10:43 --

Хотя нет, не поможет, наверное.

[Sonic86]

Ищите рекуррентное решение $(A,B,C)_{k+2}$ в виде линейной функции от $(A,B,C)_k$. Оно даже довольно несложное.
У меня все получилось - я его нашел - оно точно есть. Причем оно одно.
Условие простоты в совокупности большой роли не играет: решения априори не могут иметь общий НОД, отличный от степени $3$, значит достаточно лишь доказать, что хотя бы одно из $\{A,B,C\}_{k+1}$ не делится на $3$. Это несложно: надо только подобрать знак.
Ну и базис докажите.

[Someone]

Даже можно ещё упростить задачу, если сразу взять $A=3^n$, где $n=\frac{k-1}2$. А решение для $k=3$ подобрать.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1089592 писал(а):

Даже можно ещё упростить задачу, если сразу взять $A=3^n$, где $n=\frac{k-1}2$. А решение для $k=3$ подобрать.

Наверное, я одно решение все же пропустил: у меня вышло $C=3^{\ell(k)}$

[Someone]

(Sonic86)

Хм. Я делал полный перебор для $k\in\{3,5,7,9,11,13\}$. Решений там тьма (соответственно, $\{1,4,13,40,121,364\}$; явно прослеживается закономерность: число решений с $GCD(A,B,C)=1$ равно $\frac 12\left(3^{(k-1)/2}-1\right)$; но я это не доказывал). Во всех решениях число $C$ чётное.

[Turtur]

Sonic86, поняла Вас, спасибо за помощь!

[Sonic86]

Someone в сообщении #1089627 писал(а):

явно прослеживается закономерность: число решений с $GCD(A,B,C)=1$ равно $\frac 12\left(3^{(k-1)/2}-1\right)$; но я это не доказывал)

А кто-нибудь знает, как это доказывать? (я пока, честно, не смотрел - не нашел времени).