Ряд для синуса через кратные углы

[gris]

Навеяно задачей о пределе.
Есть точная формула $\sin x=3\sin \frac x3-4\sin^3 \frac x3$ и аналогичные формулы для углов нечётной кратности,
а также первый замечательный предел и следствие из него для предела косинуса. Нельзя ли как-нибудь получить из этого асимптотику для синуса около нуля до более высоких степеней?
Первая степень получается точно, а потом уже не то

[provincialka]

Если предположить, что такая формула существует, то найти коэффициенты можно. Например, пусть $\sin x= x + ax^3 + o(x^3)$. Кроме того, $\cos x =1 - \frac{x^2}{2}+o(x^2)$. Подставим эти соотношения в равенство $\sin 2x =2\sin x\cos x$, получим $2x + 8ax^3 +o(x^3)=2(x+ax^3 + o(x^3))(1 - \frac{x^2}{2}+o(x^2))$.
Раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты получаем уравнение $8a=2(a-1/2)$, откуда $a=-1/6$.

Но для этого нужно сначала доказать существование такого $a$.

[gris]

Вот у меня то самое же получилось, правда из формулы синуса тройного угла. Там $\dfrac {3a}{27}-\dfrac {4}{27}=a$.
То есть хотя бы в духе Пойа's Правдоподобных рассуждений можно для синуса получить ряд ещё до изучения производных.
А подойдя комплексно, получить кубический член для экспоненты, что позволяет найти злополучный предел. Хотя бы найти, если не доказать. Аккордеон
А я, понимая, что изобретаю велосипед, подумал, что в той теме можно выйти в комплексную плоскость и попробовать подобраться к нулю не сбоку, а сверху. На Рождество так хочется чуда

[ewert]

provincialka в сообщении #1088832 писал(а):

Если предположить, что такая формула существует, то найти коэффициенты можно.

Именно что если. Скажем, общеизвестно, что $\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x-\sin 3x}{27x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x-3\sin x+4\sin^3x}{27x^3}=\ldots$ и т.д.

А вот доказать -- естественно, отнюдь.

(Оффтоп)

Я в этом (в смысле ушедшем) семестре подкинул своим скубентам эту задачку в качестве развлечения. Естественно, подсказав, что там надо поиграться с кратными углами -- тройными или хоть двойными (но не объясняя, как именно играться).

И что вы думаете: в одной из групп сразу два человека угадали! (ну или нагуглили)

В другой, правда -- ни одного.

[Brukvalub]

gris в сообщении #1088850 писал(а):

То есть хотя бы в духе Пойа's Правдоподобных рассуждений можно для синуса получить ряд ещё до изучения производных.

Более того, можно определить синус как сумму известного степенного ряда, тогда никакие Пойи совсем не понадобятся.

[deep blue]

В книге Маркушевича "Ряды" дается элементарное доказательство равенства синуса и его степенного ряда. Используется только замечательный предел, формулы кратных углов и признак сходимости Даламбера. Вкратце, схема доказательства такая:
1. Записываются формулы кратных углов верные для любого m:

$$\cos(x)=\cos^m\frac{x}{m}-\frac{m(m-1)}{1\cdot2}\cos^{m-2}\frac{x}{m}\sin^{2}\frac{x}{m}+\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cos^{m-4}\frac{x}{m}\sin^{4}\frac{x}{m}-\cdots$$

$$\sin(x)=\frac{m}{1}\cos^{m-1}\frac{x}{m}\sin\frac{x}{m}-\frac{m(m-1)(m-2)}{1\cdot2\cdot3}\cos^{m-3}\frac{x}{m}\sin^{3}\frac{x}{m}+\cdots$$

2. Элементарно доказывается (используя признак Даламбера), что степенные ряды синуса и косинуса сходятся при всех x
3. На основе первого замечательного предела доказывается, что каждый член частичной суммы степенного ряда сколь угодно мало отличается от соответствующего члена в формуле кратных углов при достаточно большом m.
4. Рассматривается разность частичной суммы (длины n) степенного ряда и выражения косинуса через кратные углы (длины m>n формулы 1).
$\cos x-(1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!})=\\(\cos^m\frac{x}{m}-1)-(\frac{m(m-1)}{1\cdot2}\cos^{m-2}\frac{x}{m}\sin^{2}\frac{x}{m}-\frac{x^2}{2!})+(\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{4!}\cos^{m-4}\frac{x}{m}\sin^{4}\frac{x}{m}-\frac{x^4}{4!})-\cdots+\varphi$
$\varphi$ это обрубок суммы в выражении косинуса через сумму кратных углов от n до m. Несложно показать, что при любых m>n он меньше чем обрубок степенного ряда косинуса.
5. Для заданного $\varepsilon$ выбирается и фиксируется n так, чтобы частичная сумма степенного ряда отличалась от своего предела не более чем на $\frac{\varepsilon}{2}$. Поскольку n теперь зафиксировано, можно выбрать m>n так, чтобы каждый член разности (4) сколь угодно мало отличался от нуля и вся сумма этих членов (их n плюс еще один - $\varphi$) сколь угодно мало отличалась от нуля, например не более чем на $\frac{\varepsilon}{2}$. Остается оценить $\varphi$. Мы уже знаем что при любых m, $\varphi$ меньше чем обрубок степенного ряда косинуса, который меньше $\frac{\varepsilon}{2}$ (по условленному в самом начале при выборе n).
Итак, разность частичной суммы степенного ряда и косинуса стремится к нулю с ростом n при любых x. Следовательно сам косинус сколь угодно мало отличается от значения степенного ряда в бесконечности.

[provincialka]

Ну... решение с рядами -- хорошее, только "из пушки по воробьям". Имеет скорее "эстетическую" ценность.

А вообще-то рассуждения с кратными углами я использую, но не для доказательства формулы, а как "наведение" на неё. Показываю, что подобные формулы существуют и надо бы найти общий способ, как их легко выводить. После этого можно переходить к производной.

Хотя... изложенная "программа" -- это скорее утопия. Времени-то на досужие рассуждения не хватает!

[Евгений Машеров]

gris в сообщении #1088827 писал(а):

$\sin x=3\sin \frac x 3-4\sin^3 \frac x3$

Пользуясь этим выражением, получаем синус для $\frac x {3^k}$ для произвольно большого k. Затем заменяем синус малого x на x и видим искомый ряд. Вот с оценкой погрешности грустно, и непонятно, какие члены ряда правильные, а какие шум. Но первые выпишутся правильно.

[Brukvalub]

Евгений Машеров, ваши телодвижения даже на "пляски с бубном" не тянут! Чему вы учите нашу молодежь?

[Евгений Машеров]

Зато можно догадаться, как получали ряды для синуса древние индусы, скажем.