Условие верности ВТФ для третьей степени

[serval]

План вывода условия верности ВТФ для третьей степени

1. Представление натуральных чисел в третьей степени результатами скалярных произведений.
2. Ограничение области решений.
3. Указание условий целости точек, принадлежащих плоскости $I_3$ .
4. Определение условий целости координат вектора $\vec s_x$ .

Вывод условия верности ВТФ для третьей степени

1. Представление натуральных чисел в третьей степени результатами скалярных произведений

Любое натуральное число в третьей степени является результатом скалярного произведения векторов $(\vec p_3,\ \vec b_x)=x^3$ , где

$\vec p_3=(1,\ 7,\ 12,\ 6)\ , \vec b_x=\left( \begin{array}{llll} 1 \\ x-1 \\ \frac{1}{2}(x-1)(x-2) \\ \frac{1}{6}(x-1)(x-2)(x-3) \\ \end{array} \right) $

что проверяется их непосредственным умножением.

Тогда, целочисленные решения уравнения $x^3+y^3=z^3$ являются результатами скалярного произведения векторов $(\vec p_3,\ \vec s)=0$ , где $\vec s=\vec x+\vec y-\vec z$ .

2. Ограничение области решений

С одной стороны, целые точки, соответствующие решениям уравнения $x^3+y^3=z^3$ лежат в плоскости с нормалью $\vec p_3=(1,\ 7,\ 12,\ 6)$ , а с другой, первая координата всех этих точек равна 1.
Таким образом, в координатах $(x_0^\prime,\ x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$ искомые целые точки лежат в пересечении плоскостей

$ \begin{cases} x_0^\prime+7x^\prime+12y^\prime+6z^\prime=0\\ x_0^\prime=x=1 \end{cases} $

то есть, искомые точки принадлежат плоскости $I_3:\ 7x^\prime+12y^\prime+6z^\prime+1=0$ .

3. Указание условий целости точек, принадлежащих плоскости $I_3$

Целые точки принадлежащие плоскости $I_3$ найдём численно

http://www.wolframalpha.com/input/?i=7x%2B12y%2B6z%2B1%3D0

$x^\prime=6n+5$

$z^\prime=-7n-2y^\prime-6$

4. Определение условий целости координат вектора $\vec s_x$

Поскольку координаты вектора $\vec s_x$ должны удовлетворять условиям целости точек принадлежащих плоскости $I_3$ то

$x^\prime=6n+5=x+y-z-1$

$y^\prime=\frac{1}{2}((x^2+y^2-z^2)-3(x+y-z)+2)$

$z^\prime=-7n-2y^\prime-6=\frac{1}{6}((x^3+y^3-z^3)-7(x^2+y^2-z^2)+12(x+y-z)-6)$

Выполнив подстановки и приведя подобные, получим уравнение

$(x^3+y^3-z^3)=(x^2+y^2-z^2)-(x+y-z)$

Которое при требовании $x^3+y^3=z^3$ принимает вид

$x^2+y^2-z^2=x+y-z$

Следовательно, если последнее уравнение неразрешимо в целых числах, то в них неразрешимо исходное уравнение $x^3+y^3=z^3$ .

Прошу проверить.

[lasta]

serval в сообщении #1089077 писал(а):

Выполнив подстановки и приведя подобные, получим уравнение

$(x^3+y^3-z^3)=(x^2+y^2-z^2)-(x+y-z)$

Которое при требовании $x^3+y^3=z^3$ принимает вид

$x^2+y^2-z^2=x+y-z$

Уважаемый serval!
Применение скалярных произведений с проверкой целостности решений с помощью уравнения Ферма (УФ) принимается Вами как доказательство верности Ваших преобразований. Но УФ не может выступать в качестве такого мерила, так как свойства его нам не известны.
Для последнего равенства существует решение $(1,1,1)$

[serval]

Простите, я не понял Вас.

lasta в сообщении #1089093 писал(а):

Применение скалярных произведений с проверкой целостности решений с помощью уравнения Ферма (УФ) принимается Вами как доказательство верности Ваших преобразований.

Нет. Уравнение $(x^3+y^3-z^3)=(x^2+y^2-z^2)-(x+y-z)$ получено без использования УФ.

serval в сообщении #1089077 писал(а):

Которое при требовании $x^3+y^3=z^3$ принимает вид

Пожалуй, здесь мне следовало написать - при допущении. Хотя, сути это не меняет. Почему нельзя допустить истинность или ложность исходного положения, как при доказательстве "от противного"?
Допустив истинность уравнения $x^3+y^3=z^3$ мы не только получаем однозначное следствие $(x^2+y^2-z^2)=(x+y-z)$ , но и область содержащую его решения.

lasta в сообщении #1089093 писал(а):

Для последнего равенства существует решение $(1,1,1)$

Кстати, а формулировка ВТФ предполагает различие чисел $x,\ y,\ z$ ? Если нет - буду искать ошибку.

Просто к слову, всё то же самое проделанное для степени 2 приводит к уравнению $x^2+y^2=z^2$ .

[lasta]

serval в сообщении #1089215 писал(а):

Почему нельзя допустить истинность или ложность исходного положения, как при доказательстве "от противного"?
Допустив истинность уравнения $x^3+y^3=z^3$ мы не только получаем однозначное следствие $(x^2+y^2-z^2)=(x+y-z)$ , но и область содержащую его решения.

Здесь вы путаете существование УФ с существованием решений. Для $x^3+y^3-z^3=0$ всегда существуют решения. Например. $1,1,\sqrt[3]{2}$. Ваше же уравнение $(x^2+y^2-z^2)=(x+y-z)$ допускает только натуральное (1,1,1). Значит уравнение ошибочное.

[serval]

Уважаемый lasta, я по прежнему не вижу ошибки.

lasta в сообщении #1089265 писал(а):

Для $x^3+y^3-z^3=0$ всегда существуют решения. Например. $1,1,\sqrt[3]{2}$.

Говоря о ВТФ мы автоматически разумеем натуральные решения.
1. Я допустил их существование для $x^3+y^3=z^3$
2. Следствием этого допущения явилось уравнение $(x^2+y^2-z^2)=(x+y-z)$ которое должно иметь те же самые натуральные решения.
3. Отсутствие таких решений у последнего уравнения означает ложность исходного допущения.
В каком пункте я ошибся?
Еще, что значит "существование УФ"?
И всё же, формулировка ВТФ предполагает различие чисел $x,\ y,\ z$ ?

Видимо, я был не прав, но в другом. Последнее уравнение должно быть не равенством, а прямой пропорцией: $(x^2+y^2-z^2)=\lambda (x+y-z)$ где $\lambda$ - натуральное число. Но это нужно проверить.

[lasta]

serval в сообщении #1089547 писал(а):

Говоря о ВТФ мы автоматически разумеем натуральные решения.

Уважаемый serval!
Это одностороннее понимание проблемы с позиции - предположим, что Ферма не прав. Но есть и другой подход. Предположим, что Ферма прав. И $x^3+y^3-z^3=0$ только при иррациональных решениях.
Тогда, следуя вашим преобразованиям, допуская что они верны, приходим к уравнению $(x^2+y^2-z^2)=(x+y-z)$, которое не имеет известных иррациональных решений. А для доказательства достаточно противоречий и для одного решения. Поэтому делаем сенсационный вывод, что Ферма не прав.

serval в сообщении #1089547 писал(а):

Еще, что значит "существование УФ"?

Присвоение числу свойства, которого оно не имеет приводит к противоречию в равенствах, полученных на основании УФ.Без этого они всегда справедливы.

serval в сообщении #1089547 писал(а):

В каком пункте я ошибся?

В предположении, что Ферма не прав.

[shwedka]

serval в сообщении #1089077 писал(а):

Тогда, целочисленные решения уравнения $x^3+y^3=z^3$ являются результатами скалярного произведения векторов $(\vec p_3,\ \vec s)=0$ , где $\vec s=\vec x+\vec y-\vec z$ .

Это утверждение не доказано, поэтому все дальнейшее не имеет смысла/