Система отсчета для внутренней энергии

[мат-ламер]

Спасибо, разобрался. 1) Предполагая, что неизвестно про то, что внутренняя энергия не зависит от СО, можно просто записать изменение энергии в двух разных СО. Допустим, в первой СО есть два тела с массами $m$ и $M$, которые движутся со скоростями $v$ и $V$ соответственно. Тела испытывают абсолютно неупругий удар и движутся совместно со скоростью $(mv+MV)/(m+M)$. В этой СО изменение энергии равно (удвоенное) $2E_1=mv^2+MV^2-(m+M)[(mv+MV)/(m+M)]^2$. Во СО, связанной с телами после удара, это изменение энергии равно (удвоенное) $2E_2=m[v-(mv+MV)/(m+M)]^2+M[V-(mv+MV)/(m+M)]^2$. Легко видно, что обе величины равны $mM(v-V)^2/(m+M)$. 2) Вычислений можно избежать, если сослаться на независимость внутренней энергии от СО. Как доказать это? Мои мысли (в книгах не нашёл) следующие. Допустим сначала, что внутренняя энергия связана с беспорядочным движением частиц тела (тепловая). А тело движется со скоростью $\mathbf{V}$. Допустим, некая частица движется со случайной скоростью $\mathbf{v}$. Тогда математическое ожидание квадрата её скорости (совместно с телом) равно $M(\mathbf{v}+\mathbf{V})^2=M\mathbf{v}^2+v^2$ (где $M$ - матем. ожидание) (ввиду независимости $\mathbf{v}$ и $\mathbf{V}$). Отсюда видно, что полная энергия складывается из кинетической и внутренней. Если внутренняя энергия не только тепловая, (но которая может переходить в тепловую), то это тоже верно ввиду принципа относительности Галилея и закона сохранения энергии.

[Pphantom]

В общем-то с этого следовало бы начать. И не очень ясно, зачем пытаться доказывать утверждение, верное просто в силу определения понятия внутренней энергии.

[Munin]

А теперь портим весь воспитательный эффект напрочь.

Переходим в СТО. И в ней внезапно все эти рассуждения перестают работать, а расчёты меняются.

мат-ламер
Повторите вычисления в СТО. Объясните результат.

[peripatetik]

Внутренняя энергия не зависит от системы отсчета по определению - она считается в СО, в которой тело, как целое, покоится, то есть его центр масс имеет нулевую скорость.

[Munin]

Это правильно :-) Но вообще, хотелось бы, чтобы отвечал мат-ламер.

[peripatetik]

Munin в сообщении #1088576 писал(а):

Это правильно Но вообще, хотелось бы, чтобы отвечал мат-ламер.

Так уже вторая страница пошла, пора уже дать определение того, что обсуждается...

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1088542 писал(а):

мат-ламер
Повторите вычисления в СТО. Объясните результат.

Пытался повторить вычисления в СТО. Для простоты предположим, что массы двух сталкивающих тел одинаковы и равны $m$. В первой системе отсчёта пусть первое тело движется со скоростью $v$, а второе тело покоится. После абсолютно неупругого столкновения оба тела продолжат совместное движение со скоростью $V=v/ \sqrt {4-3v^2/c^2}$ . Кинетическая энергия первого тела до удара равна $m(v^2/2+3v^4/8c^2+...)$ . Кинетическая энергия двух слипшихся тел равна $m(v^2/4+15v^4/64c^2+...)$ . Во внутреннюю энергию в первой системе отсчёта перешла энергия $m(v^2/4+9v^4/64c^2+...)$. Рассмотрим теперь вторую систему отсчёта, связанную с движущимися слипшимися телами после удара. В этой системе отсчёта кинетическая энергия первого тела равна $m(v^2/8+7v^4/128c^2+...)$ . Кинетическая энергия второго тела равна $m(v^2/8+15v^4/128c^2+...)$ . Во внутреннюю энергию преобразуется их сумма, равная $m(v^2/4+11v^4/64c^2+...)$ , что отличается от внутренней энергии в первой системе отсчёта на величину, равную $mv^4/32c^2$ . В данном случае моё объяснение равенства двух внутренних энергий не проходит, поскольку существенно опирается на квадратичную зависимость кинетической энергии от скорости.

-- Пт янв 08, 2016 12:49:41 --

peripatetik в сообщении #1088614 писал(а):

Так уже вторая страница пошла, пора уже дать определение того, что обсуждается...

Извините. Праздники были. Определение из Википедии я привёл. Как только что-нибудь найду в учебниках, напишу.

[Munin]

Не раскладывайте дроби в ряды. Совсем не сложно их удержать в виде исходных выражений.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1088915 писал(а):

Рассмотрим теперь вторую систему отсчёта, связанную с движущимися слипшимися телами после удара. В этой системе отсчёта кинетическая энергия первого тела равна $m(v^2/8+7v^4/128c^2+...)$ . Кинетическая энергия второго тела равна $m(v^2+15v^4/128c^2+...)$ .

Гм, это ж должна быть система центра масс: кинетические энергии до удара одинаковые.

[мат-ламер]

DimaM в сообщении #1089822 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1088915 писал(а):

Рассмотрим теперь вторую систему отсчёта, связанную с движущимися слипшимися телами после удара. В этой системе отсчёта кинетическая энергия первого тела равна $m(v^2/8+7v^4/128c^2+...)$ . Кинетическая энергия второго тела равна $m(v^2+15v^4/128c^2+...)$ .

Гм, это ж должна быть система центра масс: кинетические энергии до удара одинаковые.

В кинетической энергии второго тела пропущена восьмёрка в первом множителе. Исправил.

-- Пн янв 11, 2016 20:55:16 --

Munin в сообщении #1088956 писал(а):

Не раскладывайте дроби в ряды. Совсем не сложно их удержать в виде исходных выражений.

Ничего хорошего не получается. Получаются две дроби с корнями. И их как-то надо сравнить. Ряды как-раз для этого хорошо подходят.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1088915 писал(а):

В первой системе отсчёта пусть первое тело движется со скоростью $v$, а второе тело покоится. После абсолютно неупругого столкновения оба тела продолжат совместное движение со скоростью $V=v/ \sqrt {4-3v^2/c^2}$ .

Скорость будет другой.

Выше, кажется, уже намекали, что внутренняя энергия - инвариант преобразований Лоренца.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1089984 писал(а):

Получаются две дроби с корнями. И их как-то надо сравнить.

Значит, где-то ошиблись. Приведите ваши выкладки.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1090002 писал(а):

Значит, где-то ошиблись. Приведите ваши выкладки.

Для простоты предположим, что масса тел и скорость света единичная. Рассмотрим первую СО, связанную с неподвижным наблюдателем. В ней первое тело движется со скоростью $v$. Его кинетическая энергия $E_1=\dfrac 1 {\sqrt {1-v^2}}-1$ . Второе тело покоится в первой СО. Скорость столкнувшихся слипшихся тел $V$ определяется законом сохранения импульса $\dfrac v {\sqrt{1-v^2}}=\dfrac {2V}{\sqrt{1-V^2}}$ . Отсюда $V=\dfrac v {\sqrt {4-3v^2}}$ . Кинетическая энергия слипшихся тел равна $E_{12}=\sqrt{ \dfrac{4-3v^2}{1-v^2}}-2$ . Энергия, перешедшая в тепло в первой СО равна $E_t=\dfrac {1-\sqrt {4-3v^2}}{\sqrt {1-v^2}}+1$ .

-- Вт янв 12, 2016 21:12:11 --

Рассмотрим теперь вторую СО, связанную со слипшимися телами. В этой СО скорость первого тела равна $U=v \dfrac {\sqrt{4-3v^2}-1}{\sqrt{4-3v^2}-v^2}$ . Его кинетическая энергия равна $W_1=\dfrac 1 2 \dfrac{\sqrt{4-3v^2}+v^2-2}{1-v^2}$ . Скорость второго тела равна $V$. Его кинетическая энергия равна $W_2 = \dfrac 1 2 \dfrac {\sqrt{4-3v^2}}{\sqrt{1-v^2}}-1$ . Энергия, перешедшая в тепло в этой СО, равна $W_t=W_1+W_2$ .

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1090206 писал(а):

Кинетическая энергия слипшихся тел равна $E_{12}=\sqrt{ \dfrac{4-3v^2}{1-v^2}}-2$

Стоп, а почему?

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1090206 писал(а):

Скорость столкнувшихся слипшихся тел $V$ определяется законом сохранения импульса $\dfrac v {\sqrt{1-v^2}}=\dfrac {2V}{\sqrt{1-V^2}}$ .

Это неверное уравнение.
Правильно будет $V=\dfrac{pc^2}{E}$.