Равенство функций

[Qazed]

Здравствуйте, в Зорче (кажется там) сказано, что две функции равны (на множестве) в том случае, если (на этом множестве) их области определения равны, и для любого аргумента (из того самого множества) равны значения функций, т.е.

$$f_1 = f_2 \text{ on } X:\iff \left(\underset{x \in X}{\mathrm{dom}} f_1(x) = \underset{x \in X}{\mathrm{dom}} f_2(x) \right) \wedge (\forall x \in X \colon f_1(x) = f_2(x))$$

Неужели, условие равенства функций для любого (из того самого множества) аргумента не подразумевает равенство областей определения?

$$ f_1 = f_2 \text{ on } X:\iff \forall x \in X \colon f_1(x) = f_2(x)$$

Или второе определение корректно?

[Otta]

Qazed
Вы все-таки посмотрите, что на самом деле сказано в Зориче. Или где еще там.
Потому что все в кучу.
Есть два разных понятия.
1. Функции равны.
2. Функции равны на множестве.
Вы исхитрились их таким диковинным образом перемешать, что концов не найти.
Да, и обозначение \underset{x \in X}{\mathrm{dom}} f_1(x)$ Вы сами придумали или подсмотрели где?

[arseniiv]

Ага, обозначение странное. Можно же пересекать: $X\cap\operatorname{dom}f_1$ — если я правильно его понял.

[Qazed]

Прошу прощения за такую задержку в ответе. Otta, к сожалению, сейчас не имею доступа к Зоричу, увы. Анализируя Ваш ответ:

— функции равны, если у них совпадает области определения, и для любого аргумента из этой области равны значения функций
— функции равны на множестве, если для любого аргумента из этого множества равны значения функций

Касательно обозначения, мне оно встречалось пару раз в англоязычной Википедии, также подобный стиль присутствует в Mathematica

[arseniiv]

Qazed в сообщении #1088150 писал(а):

— функции равны, если у них совпадает области определения, и для любого аргумента из этой области равны значения функций
— функции равны на множестве, если для любого аргумента из этого множества равны значения функций

Первое верно безусловно, и второе верно, если интересующее множество лежит в областях определения обеих функций — а обычно так и есть. Ещё можно переформулировать второе как «функции равны на множестве, если равны их ограничения на него», где ограничение функции $f$ на множество $A\subset\operatorname{dom}f$ — это функция $f|_A\colon A\to\operatorname{cod}f$, равная $f\cap(A\times\operatorname{cod}f)$. Так как-то удобнее, по мне: $f|_A$ имеют отдельный смысл и сравниваются как и другие функции, так что можно не говорить об отдельном виде равенства. (Хотя это уже по чьим-то меркам уровень поиска пылинок и ниточек на одежде.)

(Если что, cod — от codomain, обозначений области значений вообще жуткая куча.)

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1088808 писал(а):

(Если что, cod — от codomain, обозначений области значений вообще жуткая куча.)

В приличном опчестве для неё принято обозначение ООФ. Ну или О.О.Ф.

Но ни в коем случае не приписывая к ним справа значок самой функции! Это неприлично.

А уж применять подобные сокращения в формальных записях -- это вообще жуткий моветон. К домам это, между прочим, тоже вполне относится.

Но только до тех пор, пока дело не доходит до операторов. Там уж придётся поизвращаться с обозначениями, увы.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1088861 писал(а):

ООФ

Угадал два или одно слово из трёх. Это точно то?

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1088862 писал(а):

Угадал два или одно слово из трёх. Это точно то?

прошу прощения, инстинктивно имел в виду область определения (согласно стартовому посту). Но смысл-то -- ровно тот же, не так ли?... т.е. ровно ноль?...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Иногда намёки не очень хороши для успешной коммуникации.

Если вы имели в виду, что можно определить $f|_A = f\cap(A\times f(A))$, то, конечно, можно — но это уже подбирание ниточек второго порядка и одновременно очевидно эквивалентная формулировка; я до такого спускаться не думал.

(И потом, если функция — это тройка, тут можно устроить ещё разборки с синтаксическими вольностями.)

[Qazed]

arseniiv, спасибо. Разобрался