2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 10:17 


09/10/14
53
Необходимо доказать, что идеал порождённый $2$ и $x$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным.
Т.е. не существует такого многочлена $h(x)$, что для любых многочленов $f(x), g(x)$ существует такой многочлен $y(x)$, что
$2f(x)+xg(x)=h(x)y(x)$
Буду рад любой помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
RrX в сообщении #1088424 писал(а):
Т.е. не существует такого многочлена $h(x)$, что для любых многочленов $f(x), g(x)$ существует такой многочлен $y(x)$, что
$2f(x)+xg(x)=h(x)y(x)$

Как это "не существует такого многочлена $h(x)$"? :shock: Берем $h(x)=1$ , и мы в шоколадной глазури! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 10:42 


09/10/14
53
Brukvalub в сообщении #1088428 писал(а):
RrX в сообщении #1088424 писал(а):
Т.е. не существует такого многочлена $h(x)$, что для любых многочленов $f(x), g(x)$ существует такой многочлен $y(x)$, что
$2f(x)+xg(x)=h(x)y(x)$

Как это "не существует такого многочлена $h(x)$"? :shock: Берем $h(x)=1$ , и мы в шоколадной глазури! :D

Видимо, я запутался.

Нужно доказать, что не существует такого многочлена $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$, что $(2,x)=(f(x))$.
Выражаясь менее абстрактно, не должно быть $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$, что $2\mathbb{Z}[x] + x\mathbb{Z}[x] = f(x)\mathbb{Z}[x]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Так стало гораздо лучше! Теперь нужно понять, какое множество многочленов с целыми коэффициентами записано в левой части гипотетического "равенства"
RrX в сообщении #1088429 писал(а):
$2\mathbb{Z}[x] + x\mathbb{Z}[x] = f(x)\mathbb{Z}[x]$

Первое слагаемое - это все многочлены с только четными коэффициентами, второе - все многочлены без свободного члена. Суммой будут все многочлены с четным свободным членом. Почему множество всех многочленов с целыми коэффициентами и четным свободным членом нельзя представить в том виде, который записан в правой части вашего "равенства"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 12:15 


09/10/14
53
Brukvalub
Хороший вопрос. Действительно, почему? :?:

Попробую посмотреть, какие $f(x)$ могли бы подойти на роль, если бы можно было представить. Очевидно, что $f(x)$ с нечётным свободным членом не подходит, ибо тогда $f(x)\mathbb{Z}[x]$ будет содержать многочлены с нечётными свободными членами. Тогда пусть $f(x)$ - некий многочлен с чётным свободным членом.

Тогда нужно доказать, что какой бы ни был многочлен $f(x)$ с четным свободным коэффициентом, $f(x)\mathbb{Z}[x]$ не будет содержать все многочлены из $\mathbb{Z}$ с четным свободным коэффициентом. Пока не знаю, как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 12:46 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
RrX
Какое свойство присуще всем многочленам из $f(x)\mathbb{Z}[x]$? Каким должен быть $f(x)$, чтобы все многочлены с чётным свободным членом этим свойством обладали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 13:43 


09/10/14
53
NSKuber
Свойства? Они все являются произведением $f(x)$ и другого многочлена. Они делятся без остатка на $f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 13:54 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
RrX
Замечательно. Много ли многочленов делят без остатка все многочлены с целыми коэффициентами и чётным свободным членом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
NSKuber в сообщении #1088459 писал(а):
RrX
Замечательно. Много ли многочленов делят без остатка все многочлены с целыми коэффициентами и чётным свободным членом?
Заострю затуплю вопрос: хто делит многочлен $2$ ? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 16:30 


09/10/14
53
Brukvalub в сообщении #1088477 писал(а):
NSKuber в сообщении #1088459 писал(а):
RrX
Замечательно. Много ли многочленов делят без остатка все многочлены с целыми коэффициентами и чётным свободным членом?
Заострю затуплю вопрос: хто делит многочлен $2$ ? :shock:

Собственно, многочлены $2$ и $1$.
NSKuber в сообщении #1088459 писал(а):
RrX
Замечательно. Много ли многочленов делят без остатка все многочлены с целыми коэффициентами и чётным свободным членом?

Не знаю, но, наверное, это не все многочлены. Но надо доказать же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 16:43 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
RrX
Вы это только что доказали, чуть выше. Многочлен $2$ же тоже лежит в данном кольце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Ну, если и сейчас решения еще нет, то это печально...Дальнейшие подсказки будут расценены как развращение! :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 17:36 


09/10/14
53
По идее да, всё сходится.
$2 \in (2,x)$. Значит $2$ должно делиться на $f(x)$, следовательно, $f(x) = 2$ или $f(x)=1$ Но при $f(x) = 2$ мы получаем далеко не все многочлены с четным свободным членом, а при $f(x) = 1$ получаем все кольцо $\mathbb{Z}[x]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеал $(2,x)$ в кольце $\mathbb{Z}[x]$ не является главным
Сообщение06.01.2016, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Верно!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group