2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Привести пример предкомпактного множества
Сообщение05.01.2016, 20:48 


17/12/15
46
Помогите пожалуйста решить задачу!
Привести пример множества в $l_1 \cap l_2$, которое предкомпактно в $l_1$, но не предкомпактно в $l_2$.
Множество называется компактным, если из любого покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие. Еще есть эквивалентное определение - множество называется компактным, если оно ограничено и замкнуто.
Множество называется предкомпактным, если его пополнение - компакт.
Пересечение $l_1 \cap l_2$ - такие последовательности, удовлетворяющие $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lvert x_k \rvert < \infty$ т.е. такие что ряд из их модулей сходится, и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\lvert x_k \rvert}^2 < \infty$ и ряд из квадратов их модулей тоже сходится.
Множество предкомпактно в $l_1$, если все элементы множества ограничены : $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lvert x_k \rvert < C$ и "хвосты" равностепенно непрерывны, то есть $$\forall \varepsilon >0 \exists N : \forall x \sum\limits_{k=N}^{\infty}\lvert x_k \rvert < \varepsilon$$(в случае $l_1$) и $$\forall \varepsilon >0 \exists N :\forall x \sum\limits_{k=N}^{\infty}{\lvert x_k \rvert}^2 < \varepsilon$$(в случае $l_2$). То есть надо придумать так, чтобы было равностепенно непрерывно в $l_1$, но не равностепенно непрерывно в $l_2$. Пытался придумать, ничего не вышло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение05.01.2016, 21:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):
Привести пример множества в $l_1 \cap l_2$, которое предкомпактно в $l_1$, но не предкомпактно в $l_2$.

а кто в кого вложен?...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.01.2016, 21:20 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.01.2016, 23:04 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение05.01.2016, 23:15 


17/12/15
46
ewert в сообщении #1088315 писал(а):
Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):
Привести пример множества в $l_1 \cap l_2$, которое предкомпактно в $l_1$, но не предкомпактно в $l_2$.

а кто в кого вложен?...

А что шире? Кажется $l_1$ шире, если не ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение05.01.2016, 23:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):
Пытался придумать, ничего не вышло.

И не выйдет. Кто в кого вложен?...

Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):
Еще есть эквивалентное определение - множество называется компактным, если оно ограничено и замкнуто.

Увы, нет такого определения (вообще говоря).

Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):
Множество предкомпактно в $l_1$, если все элементы множества ограничены : $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lvert x_k \rvert < C$ и "хвосты" равностепенно непрерывны, то есть

И вновь -- горе от ума, не к тому месту приложенного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение06.01.2016, 03:31 


17/12/15
46
ewert в сообщении #1088371 писал(а):
Frank Costello в сообщении #1088303 писал(а):
Пытался придумать, ничего не вышло.

И не выйдет. Кто в кого вложен?...

Думаю, что $l_2$ вложен в $l_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение06.01.2016, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Frank Costello
послушайте ewert'a
а лучше воспользуйтесь секвенциальной компактностью

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение06.01.2016, 13:48 


17/12/15
46
Если честно, я не понял, что мне хотят сообщить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение06.01.2016, 22:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вам хотели сообщить, что Вы заблуждались насчёт вложений. И, соотв., насчёт формулировки исходной задачки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение07.01.2016, 00:51 


17/12/15
46
Рассмотрим, например гармонический ряд $\frac 1 n$. Сам он расходится, а его квадрат сходится. Значит у $l_2$ есть часть, которая не принадлежит $l_1$. Ну если Вы так настаиваете на вложенность одного пространства в другое, то пожалуй, ранее я ошибался, и $l_1$ вложен в $l_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение07.01.2016, 01:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Frank Costello в сообщении #1088623 писал(а):
Рассмотрим, например гармонический ряд $\frac 1 n$. Сам он расходится, а его квадрат сходится. Значит у $l_2$ есть часть, которая не принадлежит $l_1$. Ну если Вы так настаиваете на вложенность одного пространства в другое, то пожалуй, ранее я ошибался, и $l_1$ вложен в $l_2$.

Ну это уже кое-что. Теперь пересмотрите исходную формулировку задачки. Насколько она осмысленна -- и можно ли перепридать ей какой смысл?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение07.01.2016, 16:59 


17/12/15
46
ewert в сообщении #1088625 писал(а):
Frank Costello в сообщении #1088623 писал(а):
Рассмотрим, например гармонический ряд $\frac 1 n$. Сам он расходится, а его квадрат сходится. Значит у $l_2$ есть часть, которая не принадлежит $l_1$. Ну если Вы так настаиваете на вложенность одного пространства в другое, то пожалуй, ранее я ошибался, и $l_1$ вложен в $l_2$.

Ну это уже кое-что. Теперь пересмотрите исходную формулировку задачки. Насколько она осмысленна -- и можно ли перепридать ей какой смысл?...

Если $l_1$ вложен в $l_2$, то их пересечение есть всего лишь $l_1$. Теперь надо придумать такое множество последовательностей, замыкание которых было бы компактно в $l_1$, но не компактно $l_2$? Такое вообще возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение02.05.2016, 23:12 


17/12/15
46
Подскажите еще что-нибудь, никак не могу придумать пример. ((((

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести пример предкомпактного множества
Сообщение02.05.2016, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10324
Frank Costello в сообщении #1088733 писал(а):
Теперь надо придумать такое множество последовательностей, замыкание которых было бы компактно в $l_1$, но не компактно $l_2$? Такое вообще возможно?
Frank Costello в сообщении #1120290 писал(а):
Подскажите еще что-нибудь, никак не могу придумать пример. ((((

Обратите внимание на это сообщение:
ewert в сообщении #1088625 писал(а):
Ну это уже кое-что. Теперь пересмотрите исходную формулировку задачки. Насколько она осмысленна -- и можно ли перепридать ей какой смысл?...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group