Доказать теорему про собственные значения

[Rjukan]

Подскажите пожалуйста как доказать теорему:
B*A = B*C

где A - квадратная матрица
B - диагональная матрица из СЧ матрицы А
C - матрица, строки которой - собственные вектора, соответствующие СЧ из матрицы B

[TOTAL]

Rjukan писал(а):

Подскажите пожалуйста как доказать теорему:
B*A = B*C

где A - квадратная матрица
B - диагональная матрица из СЧ матрицы А
C - матрица, строки которой - собственные вектора, соответствующие СЧ из матрицы B

Проверьте условие.

[Бодигрим]

Дело в том, что каждому собственному значению соответствует континуум собственных векторов, отличающихся друг от друга постоянным множителем. Если $Ax=\lambda x$, то для любого $\alpha$ верно $A\alpha x=\lambda\alpha x$. Поэтому матрица $C$ у вас не является однозначно определенной. В то же время матрицы в левой части определены однозначно.

[Профессор Снэйп]

Бодигрим писал(а):

Дело в том, что каждому собственному значению соответствует континуум собственных векторов...

Не обязательно континуум. Всё зависит от того, над каким полем матрицы рассматриваются.

Хотя если над $\mathbb{R}$ или над $\mathbb{C}$, то действительно континуум.

[TOTAL]

Бодигрим писал(а):

Дело в том, что каждому собственному значению соответствует континуум собственных векторов, отличающихся друг от друга постоянным множителем.

Они могут отличаться гораздо сильнее.

[Rjukan]

вот-вот, чувствую что где то не прав... мне надо проверить результат программы, находящей собственные числа и вектора. Сначала я проверял исходя из определения собств вектора - проверял равенство
Ax = lx, где x - собств. вектор, а l-соотв. ему собственное число. Эти проверки прошли.

Потом решил проверить равенство матриц, о которых написал в теореме, равенство не получил... Т.е это закономерный результат? И чем эти матрицы отличаются - множителем или более кардинально?

[Профессор Снэйп]

Rjukan писал(а):

вот-вот, чувствую что где то не прав... мне надо проверить результат программы, находящей собственные числа и вектора. Сначала я проверял исходя из определения собств вектора - проверял равенство
Ax = lx, где x - собств. вектор, а l-соотв. ему собственное число. Эти проверки прошли.

И зачем тогда Вам после этого ещё что-то понадобилось?

[Бодигрим]

Цитата:

Не обязательно континуум. Всё зависит от того, над каким полем матрицы рассматриваются.

Цитата:

Они могут отличаться гораздо сильнее.

Да, я в курсе. Просто описывал наиболее стандартный случай.

Цитата:

Т.е это закономерный результат? И чем эти матрицы отличаются - множителем или более кардинально?

Закономерный. Кардинально. С чего вы взяли, что подобное равенство вообще должно выполняться?

[bot]

Ой, да бросьте изгаляться-то. Как будто не видите, что у него просто опечатка в матричном равенстве?
А как её исправить уже будет зависеть - будет он настаивать на строчной записи векторов или согласится перейти на столбцовую. К уточнению формулировки можно перейти позже.

[Rjukan]

Профессор Снэйп писал(а):

И зачем тогда Вам после этого ещё что-то понадобилось?

хотел по разнице матриц в целом оценить точность решения, для всех найденных СЧ, так как проверка каждого СЧ по отдельности даст ошибку только для него. Поэтому и хотел получить некоторое матричное равенство, куда можно бы было подставить найденные значения. Если кто подскажет такое, буду благодарен

Добавлено спустя 1 минуту 22 секунды:

bot писал(а):

Ой, да бросьте изгаляться-то. Как будто не видите, что у него просто опечатка в матричном равенстве?
А как её исправить уже будет зависеть - будет он настаивать на строчной записи векторов или согласится перейти на столбцовую. К уточнению формулировки можно перейти позже.

а в чем опечатка? Согласен на любую форму записи для корректной записи матричного равенства!

[незваный гость]

$A C = C B$

[Echo-Off]

Между прочим, матрица $B$ может и не быть диагональной.

[bot]

Вы бы ещё про жорданову форму сказали, которая по убеждению одного академика, никому не нужна - "кратных корней в природе не бывает". Скорее всего их и у автора нет - он же просто свои вычисления проверить хочет. Как он это сделает без разницы - просто каждый собственный вектор проверит или матрицы перемножит, но для последнего ему нужно верное матричное равенство.

незваный гость писал(а):

:evil:
$A C = C B$

Это, если автор согласен пользоваться столбцовой записью векторов, в противном случае множители надо переставить.

Как он из этого хочет получить степень удовлетворённости своими вычислениями, если любой из СВ можно растянуть - остаётся загадкой.

[Rjukan]

незваный гость писал(а):

:evil:

$A C = C B$

то что доктор прописал! Большое спасибо!
У меня вектора, соответствующие СЧ, не растянутые, поэтому равенство выполняется.

[Бодигрим]

Цитата:

У меня вектора, соответствующие СЧ, не растянутые

Простите, а что такое нерастянутый собственный вектор?