Глупый вопрос по теории множеств, A^0

[Someone]

Понятие упорядоченной пары, тройки и вообще $n$-ки (включая $n=0$) нужно вводить и рассматривать абстрактно. Вопрос о том, какому именно множеству соответствует, скажем, упорядоченная пара $(a,b)$ или "нолька" $()$, является, строго говоря, некорректным. Всякие модели этого понятия типа модели Куратовского нужны только для того, чтобы показать, что введение этого понятия не приводит к расширению теории множеств. Использовать их вполне возможно, но это надо делать аккуратно.
Для упорядоченных $n$-ок не определены объединение и пересечение, но есть свои операции и функции: конкатенация, выделение $k$-го элемента, длина, стирание порядка, в результате которого получается (неупорядоченное) множество.
В отличие от категорного подхода, определение произведения $n$ множеств, как множества упорядоченных $n$-ок, приводит к появлению на произведении дополнительной структуры, которая делает произведение некоммутативным и неассоциативным.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1087741 писал(а):

Насколько я понял, нет: у меня вопросов нет, а Munin мне пытается доказать, что у Вавилова хорошо описано правильное понимание декартова произведения.

А, спасибо. Тут не смогу помочь, не дочитал до того места.

[Munin]

Sonic86 в сообщении #1087703 писал(а):

Munin в сообщении #1087659 писал(а):

[$()$] Не бывает.

А ведь должно!

Неправильно прочитали, и как следствие, неправильно процитировали.

Sonic86 в сообщении #1087703 писал(а):

Слова "операция прямого произведение является не теоретико-множественной, а теоретико-категорной" можно понимать двояко:
1) "Операция прямого произведение является не только теоретико-множественной, но и теоретико-категорной".
2) "Операция прямого произведение не является теоретико-множественной".

Ни то, ни другое не верно. Верно то, что нельзя давать определение операции прямого произведения, оставаясь в рамках теории множеств. Нельзя не в том смысле, что невозможно дать, а в том смысле, что некорректно. То есть, получится не то определение, которым пользуются все окружающие математики. Оно будет попросту страдать повышенной и излишней точностью.

Википедия в этом смысле вам, конечно, радостно врёт.

----------------

Попробую объяснить на другом примере. Допустим, мы хотим дать определение евклидовой плоскости. У нас есть два варианта:
1. Просто сказать, что $E^2=\mathbb{R}^2.$
2. Занудно перечислять все аксиомы евклидовой геометрии, например, Гильбертовы. И потом заявить: "всё, что удовлетворяет этим свойствам, будет евклидовой плоскостью".
Первый вариант даёт одну конкретную реализацию. Второй - позволяет считать реализацией много разных множеств. Что от евклидовой геометрии на самом деле нужно? Выполнение аксиом, как во втором варианте. Что под евклидовой геометрией на самом деле подразумевается? Не более чем выполнение этих аксиом. Поэтому, можно прибегнуть к первому варианту, но только для простоты, и чётко понимая, что это на самом деле частный случай.

Поэтому, по аналогии, никто не запрещает построить прямое произведение в теории множеств. Но нужно опять же понимать, что это частный случай, и явная конструкция здесь предлагается только для простоты. А на самом деле, подразумевается выполнение некоторых аксиом, а именно - универсального свойства прямого произведения.

(У Вавилова так сформулировано, будто "универсальное свойство" - это отдельное понятие в математике. Нет, на самом деле есть "универсальное свойство чего-то" для каждого отдельного понятия.)

Sonic86 в сообщении #1087703 писал(а):

Но я еще не дошел до того места, где теория категорий начинает приносить хоть какую-то пользу. ... А у Вавилова эти слова - это просто тезис без мотивировки и обсуждений, т.е. это не объяснение.

Я слова Вавилова понимаю как мотивировку, но видимо, потому что понимаю, на что он намекает.

Уточните ваш background. Вы смотрите на книгу Вавилова как студент первых курсов, или с высоты знания старших курсов? Я боюсь, в зависимости от этого она может выглядеть и читаться совершенно по-разному, и приносить разную пользу.

[Sonic86]

Someone, благодарю за ясный ответ. Как-то я не подумал, что теория упорядоченных энок - отдельная теория.

(Munin)

Munin в сообщении #1087793 писал(а):

Оно будет попросту страдать повышенной и излишней точностью.

Это верно. Однако это не равносильно утверждению:

Munin в сообщении #1087793 писал(а):

нельзя давать определение операции прямого произведения, ... в том смысле, что невозможно дать, а в том смысле, что некорректно.

Некорректными определениями называются другие определения (которые вообще не работают). А определение декартова произведения в обычной теории множеств корректно. Думаю, вместо "некорректно" в Вашем высказывании следует использовать какое-то особое слово, которого еще нет или я его не знаю. Например, "кривое определение".
Я понимаю, что это все формальные мелочи, но я люблю максимально ясный текст, потому что из него все яснее видно, чем из веры автору на слово.

Munin в сообщении #1087793 писал(а):

Неправильно прочитали, и как следствие, неправильно процитировали.

Прошу извинить.

Munin в сообщении #1087793 писал(а):

Уточните ваш background

универ асилил, аспирантуру 010101 ниасилил (NBG учил, кстати), в универе не работаю, быдлокодер.

[Munin]

Sonic86 в сообщении #1087794 писал(а):

Некорректными определениями называются другие определения (которые вообще не работают).

Нет.

Такие определения называются определяющими пустое множество объектов.

А некорректность здесь в том, что все люди каким-то словом называют что-то одно, а вы - что-то другое.

Sonic86 в сообщении #1087794 писал(а):

Думаю, вместо "некорректно" в Вашем высказывании следует использовать какое-то особое слово, которого еще нет или я его не знаю. Например, "кривое определение".

Здесь и ваше определение слова "некорректно" некорректно :-)

Sonic86 в сообщении #1087794 писал(а):

Я понимаю, что это все формальные мелочи, но я люблю максимально ясный текст, потому что из него все яснее видно, чем из веры автору на слово.

Мне кажется, Вавилов высказался максимально ясно: понятие определено с точностью до изоморфизма.

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1087794 писал(а):

NBG учил, кстати

Спасибо. Скорее, меня интересовал ваш математический background за рамками теории множеств. Насколько вы знакомы с конструкциями "с точностью до изоморфизма"? Насколько вы знакомы с общей алгеброй, с алгебраической топологией, например? Или с другими такими областями (я, увы, с ними не знаком)?

Извините за личный вопрос, просто мне кажется, это может прояснить момент понимания / непонимания Вавилова.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Пластинку благополучно заело. Мне сообщить больше нечего.

[LionKing]

Попробую вставить свои 5 копеек, если получится. (Хотя не уверен до конца) Итак:
Munin-у
Здесь, для начала, важно уяснить разницу между теорией множеств и теорией категорий. И разница не в "с точностью до изоморфизма". В чем "фишка"? В теории множеств все "сущности" равнозначны. У нас есть объекты, между которыми мы можем выстраивать соотношения, отталкиваясь от двух атомарных соотношений $(=,\in)$, используя логические символы (в зависимости от соглашений в качестве базовых могут использоваться разные наборы). Соответственно, имеется некий набор правил генерации новых объектов из уже имеющихся. Более жесткий (как в ZFC, где все объекты - множества) или более мягкий (как в NBG, где все объекты - классы (собственные или несобственные)). Соответственно, в рамках теории множеств объекты равнозначны. В том числе всякое отображение всего лишь класс/множество. В теории категорий все не так. У нас изначально два сорта "сущностей": объекты и стрелки. Причем полагается, что нет какой-либо явной связи между объектами и стрелками. Соответственно больше свободы. Имеются правила генерации новых объектов из тех, что уже имеются в наличии, и новых стрелок из тех, что уже имеются в наличии. Всякое отображение в ТК - это просто стрелка и все. Отталкиваясь от этих простых вещей, мы приходим к неутешительному выводу. Чтобы построить отображение в ТМ, нужно построить бинарное отношение в ТМ. А чтобы построить бинарное отношение в ТМ, нужно определить пару (например, по Куратовскому). Стало быть, чтобы построить функцию в ТМ, нужно определить пару. А как? А вот так - сложно и некрасиво. Однако нет выхода. В ТК, где уже изначально имеются стрелки, мы можем строить декартово произведение объектов, используя стрелки - проекторы. Как в книге у Вавилова - "Не совсем наивная теория множеств"! Такие дела... Важно отключить теоретико - множественную интуицию и понять, что стрелка - не объект, а объект - не стрелка. Это было, во-первых. Во-вторых, в теории множеств не получится определить $A^0$. А в ТК можно попробовать. Не знаю, правда, получится ли? А... Все зависит от того, имеется ли нейтральный элемент относительно декартова произведения...

-- 04.01.2016, 16:35 --

Munin в сообщении #1087798 писал(а):

Нет.

Такие определения называются определяющими пустое множество объектов.

А некорректность здесь в том, что все люди каким-то словом называют что-то одно, а вы - что-то другое.

Некорректное определение - это "када" мы даем имя некому допустимому знакосочетанию теории, обладающему "не теми" свойствами. Как-то так...

[g______d]

Munin в сообщении #1087798 писал(а):

Нет.

Такие определения называются определяющими пустое множество объектов.

А некорректность здесь в том, что все люди каким-то словом называют что-то одно, а вы - что-то другое.

Давайте всё-таки говорить по-русски. Корректное определение -- это "well defined", а не "correct". Так что Sonic86 прав.

[LionKing]

Munin в сообщении #1087798 писал(а):

понятие определено с точностью до изоморфизма.

Я вас поправлю. Понятие определено не конструктивно, а не "с точностью до изоморфизма". Грубо говоря, претензия Sonic86 была в том, что ему хотелось увидеть конструктивное определение для $A\times \mathbb{B}$.

-- 04.01.2016, 17:06 --

Munin-у
По поводу конструктивных и неконструктивных теорий. Простой пример. Когда мы сначала строим множество натуральных чисел, а потом на его базе громоздим множества целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел (книги: Феферман, Демидов, Ландау) - это пример конструктивного построения Теории Числовых Систем. А когда мы определяем множество вещественных чисел системой аксиом - это пример неконструктивного построения.))) Как-то так...

[arseniiv]

Много неточностей, которых можно было бы избежать, не пытаясь написать ненужное:

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

У нас есть объекты, между которыми мы можем выстраивать соотношения, отталкиваясь от двух атомарных соотношений $(=,\in)$

По экстенсиональности $=$ определяется через $\in$.

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

используя логические символы (в зависимости от соглашений в качестве базовых могут использоваться разные наборы)

Это вообще здесь иррелевантно.

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

В теории категорий все не так. У нас изначально два сорта "сущностей": объекты и стрелки.

Можно переформулировать через одни стрелки.

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

Причем полагается, что нет какой-либо явной связи между объектами и стрелками.

Слова могут быть поняты как угодно. Можно назвать «явной связью» $\mathrm{dom}$ и $\mathrm{cod}$ и, соответственно, $\mathrm{Hom}$ (и $\mathrm{Aut}$).

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

Всякое отображение в ТК - это просто стрелка и все.

Это несколько неаккуратно. Стрелки не всякой категории естественно интерпретируются как отображения.

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

В ТК, где уже изначально имеются стрелки, мы можем строить декартово произведение объектов, используя стрелки - проекторы.

Или не можем. Не у каждых двух объектов наперёд заданной категории существует декартово произведение, и не во всякой категории оно существует для всех пар объектов.

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

Во-вторых, в теории множеств не получится определить $A^0$.

Выше уже получилось, если кому-то лень читать перед написанием громадных постов.

-- Пн янв 04, 2016 19:57:29 --

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

А в ТК можно попробовать. Не знаю, правда, получится ли? А... Все зависит от того, имеется ли нейтральный элемент относительно декартова произведения...

Тут вы, можно сказать, всё же угадали. Но именно угадали, а не вывели нормально. Пустое произведение — это терминальный объект, и они, как и другие произведения, существуют не во всех категориях. В категории множеств это любой синглетон.

[Munin]

g______d в сообщении #1087995 писал(а):

Давайте всё-таки говорить по-русски. Корректное определение -- это "well defined", а не "correct".

Ну а correct как будет по-русски, раз уж вы призываете?

-- 04.01.2016 18:15:06 --

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

Munin-у
...
Важно отключить теоретико - множественную интуицию и понять, что стрелка - не объект, а объект - не стрелка.

Непонятно, зачем вы пишете это мне, а не Sonic86-у.

LionKing в сообщении #1087993 писал(а):

А в ТК можно попробовать. Не знаю, правда, получится ли? А... Все зависит от того, имеется ли нейтральный элемент относительно декартова произведения...

Это банальное упражнение вам самому по силам.

LionKing в сообщении #1088001 писал(а):

Грубо говоря, претензия Sonic86 была в том, что ему хотелось увидеть конструктивное определение для $A\times \mathbb{B}$.

Вы знаете, что телепатствовать в интернете вредно?

Sonic86 предпочёл не расшифровывать, в чём его претензия, а нахамить и уйти. И всё.

LionKing в сообщении #1088001 писал(а):

По поводу конструктивных и неконструктивных теорий. Простой пример. Когда мы сначала строим множество натуральных чисел, а потом на его базе громоздим множества целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел (книги: Феферман, Демидов, Ландау) - это пример конструктивного построения Теории Числовых Систем. А когда мы определяем множество вещественных чисел системой аксиом - это пример неконструктивного построения.))) Как-то так...

Я сам выше приводил аналогичный пример, так что мне опять непонятно, зачем вы мне это адресуете.

arseniiv в сообщении #1088019 писал(а):

Стрелки не всякой категории естественно интерпретируются как отображения.

А этого и не было сказано. Было сказано обратное: отображения естественно изображаются стрелками. И с этим не поспоришь.

[LionKing]

arseniiv в сообщении #1088019 писал(а):

По экстенсиональности $=$ определяется через $\in$.

Нет. Это неверно. Вы путаете тождественное равенство и теоретико - множественное равенство объектов. Эти понятия вообще говоря различаются. Почитайте: Слупецкий, Борковский "Элементы математической логики и теории множеств."

-- 04.01.2016, 18:34 --

arseniiv в сообщении #1088019 писал(а):

Можно переформулировать через одни стрелки.

Ну что сказать... Попробуйте...

-- 04.01.2016, 18:37 --

arseniiv в сообщении #1088019 писал(а):

Слова могут быть поняты как угодно. Можно назвать «явной связью» $\mathrm{dom}$ и $\mathrm{cod}$ и, соответственно, $\mathrm{Hom}$ (и $\mathrm{Aut}$).

Согласен. Предложение было вставлено для образности. Подразумевалось, что стрелки - это "что-то одно", а объекты - это "что-то другое". Только и всего...

-- 04.01.2016, 18:41 --

arseniiv в сообщении #1088019 писал(а):

Это несколько неаккуратно. Стрелки не всякой категории естественно интерпретируются как отображения.

Вы не поняли. В ТК "отображение" и "стрелка" - просто синонимы. Однако мне хорошо известен тот факт, что не всегда стрелка может быть интерпретирована как теоретико множественная функция. Это очевидно.

[Munin]

Поскольку тут пошёл разговор не по сути, а по вычёсыванию блох.

Munin в сообщении #1087554 писал(а):

По наивному определению.
Пусть... $n$-ка - (определяется) как

$$(x_1,\ldots,x_n)=\{\{x_1\},\{x_1,x_2\},\ldots,\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\}.$$

На это мне в ЛС заметили, что хорошим определением это не будет, в частности, $(1,1,2)=\{\{1\},\{1,2\}\}=(1,2,2).$
Я и не приводил это как пример хорошего определения, я всего лишь приводил это как пример наивного определения. Списал у Вавилова (который приводит и другие примеры определений, например,

$$(x_1,\ldots,x_n)=((\ldots(x_1,x_2),\ldots,x_{n-1}),x_n)$$

- которое, однако, сформулировано только для $n\geqslant 2$).
Чё-то ещё хотел добавить, но вылетело из башки.

[LionKing]

arseniiv в сообщении #1088019 писал(а):

Или не можем. Не у каждых двух объектов наперёд заданной категории существует декартово произведение, и не во всякой категории оно существует для всех пар объектов.

Это очевидно. Я говорил "в общем". Я вовсе не подразумевал, что обязательно для любых двух объектов будет существовать их декартово произведение.

-- 04.01.2016, 18:47 --

arseniiv в сообщении #1088019 писал(а):

Выше уже получилось, если кому-то лень читать перед написанием громадных постов.

Справедливое замечание. Я был несколько невнимателен. Прошу прощение за это.

[arseniiv]

LionKing в сообщении #1088027 писал(а):

Нет. Это неверно. Вы путаете тождественное равенство и теоретико - множественное равенство объектов.

Было бы неплохо, если бы вы хоть цитату привели из той книге или как-то пояснили.

LionKing в сообщении #1088027 писал(а):

Ну что сказать... Попробуйте...

Это известный факт, чего пробовать-то? Объекты можно восстановить из свойств композиции стрелок: если определена $f\circ g$, то $\operatorname{dom}f = \operatorname{cod}g$, но это даже не нужно: аксиомы категории требуют существование стрелок $\mathrm{id}$, которых всегда ровно столько, сколько объектов, и их можно вполне считать этими самыми объектами.

LionKing в сообщении #1088027 писал(а):

Подразумевалось, что стрелки - это "что-то одно", а объекты - это "что-то другое". Только и всего...

Считать их несовпадающими нет нужды: они используются в разных контекстах. Плюс см. выше.

(Оффтоп)

LionKing в сообщении #1088027 писал(а):

Согласен. Предложение было вставлено для образности.

И не одно…