Исследовать на сходимость последовательность

[Frank Costello]

Помогите пожалуйста решить задачу!
Исследовать на сходимость в $L_1(\mathbb{R})^$ последовательность $ \frac n {n^2+x^2}$
Необходимо для начала проверить слабую сходимость. Существует критерий слабой сходимости в $L_1(\mathbb{R})^$ : последовательность $x_n(t)$ сходится к $x$ тогда и только тогда, когда
1)$\exists C такой что \forall n \in \mathbb{N} \lVert x_n \rVert < C$ ,то есть последовательность ограничена.
2)для каждого элемента произвольной системы функций $g_{\alpha} \in L_q(\mathbb{R}) = (L_p(\mathbb{R}))\ast $, удовлетворяющей условию: $\overline{Lin{g_{\alpha}}} = L_q(\mathbb{R})$ , справедливо равенство:

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_n(t) g_{\alpha}(t)dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) g_{\alpha}(t)dt$$

В случае $p = 1 и q = \infty $ в качестве системы можно выбрать систему характеристических функций всех измеримых по Лебегу множеств на вещественной оси.
Ограниченность доказал, все элементы последовательности лежат на сфера радиуса $\pi$.
Подсказали, что слабо не сходится. Как это показать?

[Linosik]

Здесь радиус выскочил совершенно ниоткуда, расшифруйте обозначения, пожалуйста.

[Frank Costello]

Вы про радиус пи? Я просто посчитал норму всех элементов последовательности и она у всех одинакова и равна пи, так как интеграл сводится к арктангенсу.

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1087820 писал(а):

Необходимо для начала проверить слабую сходимость.

Это, что называется, горе от ума. Кому необходимо-то?... если Вам, то зачем?...

Вполне достаточно сопоставить, к чему они сходятся поточечно -- и к чему сходятся их нормы (которые ж тупо известны).

[Frank Costello]

Поточечно к нулю, а нормы все равны пи. Из этого следует то, что последовательность не сходится слабо?

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1087847 писал(а):

Из этого следует то, что последовательность не сходится слабо?

Из этого следует, что: а слабО не стремиться к слАбости?...

Из поточечной сходимости к нулю (вкупе с теоремой о суммируемой мажоранте, а ещё лучше ещё как вульгарнее) следует, что и в Эль-один-метрике по любому соотв. промежутку сходимость не может быть ни к чему, кроме нуля. Следовательно, и по всей оси. А тогда зачем Дося?...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Frank Costello]

ewert в сообщении #1087852 писал(а):

Frank Costello в сообщении #1087847 писал(а):

Из этого следует то, что последовательность не сходится слабо?

Из этого следует, что: а слабО не стремиться к слАбости?...

Из поточечной сходимости к нулю (вкупе с теоремой о суммируемой мажоранте, а ещё лучше ещё как вульгарнее) следует, что и в Эль-один-метрике по любому соотв. промежутку сходимость не может быть ни к чему, кроме нуля. Следовательно, и по всей оси. А тогда зачем Дося?...

Извините пожалуйста, Вы не могли бы развернуто объяснить суть Вашего сообщения?

[ewert]

Если $\left\|f_n-f\right\|_{L_1(-\infty;+\infty)}\to0$, то тем более $\left\|f_n-f\right\|_{L_1(-a;a)}\to0$ для любого $a>0$. Дальше надо объяснять?

[Frank Costello]

С этим более или менее понятно. Теперь, соединим все вместе. Последовательность стремится к нулю поточечно, последовательность ограничена, т.к. норма каждого элемента последовательности равна пи. Вы утверждаете, что для слабой сходимости необходимо чтобы последовательность и по норме сходилась к нулю? В таком случае слабой сходимости и впрямь не будет.

[NSKuber]

Почему у вас слабая сходимость постоянно вылезает?
Вы другие виды сходимости в нормированном пространстве знаете? Если да, то выпишите их определение, и сразу должно стать ясно, что вам пытаются сказать.

[Frank Costello]

$x_n \rightarrow x : \lVert x_n - x \rVert \rightarrow 0$ это сильная сходимость. Но при исследовании на сходимость ведь надо сначала проверять слабую сходимость, ведь сильная сходимость влечет слабую, а значит, если нет слабой, то и сильной не будет!

[Lia]

Frank Costello в сообщении #1088212 писал(а):

Но при исследовании на сходимость ведь надо сначала проверять слабую сходимость,

Кому надо?

Frank Costello в сообщении #1088212 писал(а):

ведь сильная сходимость влечет слабую, а значит, если нет слабой, то и сильной не будет!

А если есть слабая (которую Вы не проверяли, кстати), то что тогда будет с сильной?
Работайте по определению. Что просят проверить, то и проверяйте.

[Frank Costello]

Конечно надо мне.
Так как грамотно проверить на слабую сходимость? Вот в чем вопрос.