Задача на нахождение минимальной скорости прыжка человека

[Amigo]

Один знакомый подкинул задачу,я её вроде решил, ну что то сильно сомневаюсь...
Задача:
Человек массой m находится на плоту массой M и длины L. Требуется найти минимальную начальную скорость прыжка человека и угол наклона этой скорости к земле, при котором
он перепрыгнет на другой конец. (плот при этом плывёт на встречу человеку).
Решение
Обозначим за:
U-скорость плота после прыжка
V-человека во время прыжка.
Из закона сохранения импульса имеем( детали я опускаю):
$UM-Vm=0$, откуда $U=V* (m/M)$ (1)
скорость вдоль оси ох - постоянна и равна V_x=V*cos(a)
Соместная скорость сближения плота и человека равна U+ V*cos(a) следовательно расстояние L будет преодолено за время t и равно с учетом (1)
$L=Vt$ \left( \frac m M \right+cos(a)) $$(2)
Поскольку время "путешествия" вдоль оси оу равно времени сближения с концом плота, то его можно найти так: $t=2Vsin(a)$ \left( \frac 1 g \right) $$
подставляем время в уравнение (2), выражаем скорость, и получаем некую функцию -
$V=V(a)$.
Далее находим производную, приравниваем к нулю, ищем критические точки и вконце получаем зависимость. Правильно?
Меня смутил тот момент, что формула дающая выражение cos(a) может быть, вообще говоря больше еденицы. Может где то изначально есть ошибка?

[Someone]

Amigo писал(а):

Из закона сохранения импульса имеем( детали я опускаю):
UM-Vm=0

Нет. Вертикальная составляющая импульса от толчка гасится реакцией воды, её можно не учитывать. Учитывать нужно только горизонтальную составляющую $mV\cos\alpha$.

P.S. Формулы нужно окружать знаками доллара:

$mV\cos\alpha$

Почитайте http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355, пока к Вам модератор не прицепился. В частности, посмотрите там, что как кодируется. Ваша формула (2), например, закодирована неправильно:

$L=Vt$ \left( \frac m M \right+cos(a))  $$

а должно быть так:

$L=Vt\left(\frac mM+\cos\alpha \right)$

$L=Vt\left(\frac mM+\cos\alpha \right)$

С двойными знаками доллара получится так:

$$L=Vt\left(\frac mM+\cos\alpha \right)$$

[Amigo]

Спасибо. Попробую перерешать с учётом Вашего замечания.

P.s.
Всё что мог исправил, в остальное нужно вникать, а это не один день...

[Архипов]

Amigo писал(а):

Человек массой m находится на плоту массой M и длины L. Требуется найти минимальную начальную скорость прыжка человека и угол наклона этой скорости к земле, при котором
он перепрыгнет на другой конец. (плот при этом плывёт на встречу человеку).

Хотя математически задача сформулирована корректно, но физические условия заданы очень расплывчато, мягко говоря. То есть - в ответе придется указать множество других физических условий, при которых он действителен.
Если решать эту задачу только на применение закона сохранения импульса и закона всемирного тяготения, то единственный ответ к ней возможен.
1. Доказав, что максимальная дальность полета тела достигается при угле наклона скорости к горизонту 45 градусов, получим ответ на второй вопрос задачи. Тогда постоянная горизонтальная скорость и начальная вертикальная равны $U$ , абсолютная $V=U*1,41...$
2. Из закона сохранения импульса и с учетом скорости человека относительно плота получим, что потребная скорость $V$ зависит от соотношения их масс и длины плота.
Из закона сохранения импульса и относительной скорости $U=Uotn/(1+m/M)$

Из закона свободного падения $2*U^2=L/g$ так как $t=2*U/g=L/U$

[abc_qmost]

Архипов писал(а):

Amigo писал(а):

Человек массой m находится на плоту массой M и длины L. Требуется найти минимальную начальную скорость прыжка человека и угол наклона этой скорости к земле, при котором
он перепрыгнет на другой конец. (плот при этом плывёт на встречу человеку).

Хотя математически задача сформулирована корректно, но физические условия заданы очень расплывчато, мягко говоря. То есть - в ответе придется указать множество других физических условий, при которых он действителен.
Если решать эту задачу только на применение закона сохранения импульса и закона всемирного тяготения, то единственный ответ к ней возможен.
1. Доказав, что максимальная дальность полета тела достигается при угле наклона скорости к горизонту 45 градусов, получим ответ на второй вопрос задачи. Тогда постоянная горизонтальная скорость и начальная вертикальная равны $U$ , абсолютная $V=U*1,41...$
2. Из закона сохранения импульса и с учетом скорости человека относительно плота получим, что потребная скорость $V$ зависит от соотношения их масс и длины плота.
Из закона сохранения импульса и относительной скорости $U=Uotn/(1+m/M)$

Из закона свободного падения $2*U^2=L/g$ так как $t=2*U/g=L/U$

Задача сформулирована корректно. Это задача 8-го класса на закон сохранения импульса и кинематику равноускоренного движения. В конце преобразований (решать лучше всего в системе отсчета, связанной с землей) получится, что произведение квадрата искомой скорости на синус искомого двойного угла равно некоторой константе, которая выражается через данные задачи и ускорение свободного падения. Отсюда находим, что скорость будет минимальна, когда синус масимален. Дальше, я думаю, разжевывать нет необходимости.

[Архипов]

abc_qmost писал(а):

Задача сформулирована корректно. Это задача 8-го класса на закон сохранения импульса и кинематику равноускоренного движения.

Вот, если бы так в задаче было написано, тогда она была бы корректна (как правило, школьные задачи - задачи на применение физических законов).
А автор сообщает, что эту задачку ему друг задал. А не на уроке в 8 классе. Откуда мы можем знать, что в ней нужно применить всего два закона? Или один закон? Чтобы плот не утонул и не опрокинулся во время прыжка, масса его должна быть значительно больше массы человека. Тогда законом сохранения импульса можно пренебречь. Как бы плот на земле лежит и нужно прыгнуть с одного конца на другой. А если не пренебречь, то нужно будет еще закон сохранения момента импульса учитывать (плот -то тонуть при прыжке будет одним краем).

[abc_qmost]

Архипов писал(а):

abc_qmost писал(а):

Задача сформулирована корректно. Это задача 8-го класса на закон сохранения импульса и кинематику равноускоренного движения.

Вот, если бы так в задаче было написано, тогда она была бы корректна (как правило, школьные задачи - задачи на применение физических законов).
А автор сообщает, что эту задачку ему друг задал. А не на уроке в 8 классе. Откуда мы можем знать, что в ней нужно применить всего два закона? Или один закон? Чтобы плот не утонул и не опрокинулся во время прыжка, масса его должна быть значительно больше массы человека. Тогда законом сохранения импульса можно пренебречь. Как бы плот на земле лежит и нужно прыгнуть с одного конца на другой. А если не пренебречь, то нужно будет еще закон сохранения момента импульса учитывать (плот -то тонуть при прыжке будет одним краем).

На переднем плане должна быть здравая логика, а не научно-фантастические измышления. Так любую задачу по физике можно свести к абсурду.

[Архипов]

abc_qmost писал(а):

На переднем плане должна быть здравая логика, а не научно-фантастические измышления. Так любую задачу по физике можно свести к абсурду.

Да уж, мудрое напутствие.
Об обсуждаемой задаче. Массы и длина заданы символически. Берем надувную лодку массой 30 кг, длиной 6м, масса человека 100 кг. Посчитайте-ка скорость, с какой должен человек от неё оттолкнуться, чтобы перепрыгнуть с кормы на нос. А потом проверьте на опыте. Если результат будет отличаться от теоретического на половину последнего, то решение задачи окажется фантастическим, то есть не соответствующим реальности..

[Amigo]

Господа, а не могли бы Вы сообщить какие у Вас получились в конечном счёте ответы?
А то я Вашу логику не очень понял. Архипов Вы правильно подошли к вопросу с точки зрения меня, а abc_qmost
с точки зрения человека которому эту задачу нужно решить.
(это мой коллега по работе, он ещё учится, в каком то ВУЗе, там задали такую задачу, почему Вы говорите, что она за 8-й класс? там не проходят производные, не сочиняйте).

[Someone]

$$\alpha=\frac{\pi}4$$

$$V=\sqrt{\frac{LMg}{M+m}}$$

Куда воткнуть производные в этой задаче, не нашёл.

[Amigo]

Someone писал(а):

Куда воткнуть производные в этой задаче, не нашёл.

Да..., но тут дело такое - тот кто ищет тот всегда найдет ...

Вообще, Ваше допущение, что вертикальную часть импульса учитывать не нужно
мне кажется слишком сильным. Я не понимаю физического смысла такого допущения.
Хотя если его придерживаться, то тогда конечно - всё решается в три строки.
Но мне кажется, что его всё-таки нужно учитывать. Или Вы НАСТАИВАЕТЕ, что это абсолютно
физически бессмысленно?

[Someone]

Amigo писал(а):

Вообще, Ваше допущение, что вертикальную часть импульса учитывать не нужно мне кажется слишком сильным. Я не понимаю физического смысла такого допущения.

Эта составляющая толчка заставляет один из краёв плота начать погружаться, а вертикальная скорость человека при этом несколько уменьшается. На сколько именно, и что далее будет происходить с плотом, мы узнать не сможем, поскольку необходимых для этого условий в задаче нет. Физический смысл этого допущения состоит в том, что глубина погружения и вертикальная скорость плота после толчка пренебрежимо малы: плот представляет собой жёсткую конструкции большой площади, и погружение плота даже на небольшую глубину вызывает движение большой массы воды, во много раз превосходящей массу плота вместе с человеком.

Такого рода допущения типичны для учебных задач.