Квантовая механика. Полнота системы функций.

[default]

Здравствуйте. Я занимаюсь самостоятельно по лекциям (ссылка) и не могу понять выражение, записанное для свойства полноты системы функций( (1.21) на стр. 17).
Дана нормированная на единицу в объёме
$\mathrm{V}$ куба система функций:
$\boldsymbol{\Psi_k}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{V}}\exp^{i\boldsymbol{k}\mathbf{r}}$
Эта система функций обладает свойствами ортогональности

$$\int\limits_{\mathrm{(V)}} \boldsymbol{\Psi^*_{k'}}(\mathbf{r}) \boldsymbol{\Psi_k}(\mathbf{r}) \ d^3r = \frac{1}{V}\int\limits_{\mathrm{(V)}} \exp^{i(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k'})\mathbf{r}} \ d^3r = \delta_{\boldsymbol{k'}\boldsymbol{k}} \equiv \delta_{n_x' n_x}\delta_{n_y' n_y}\delta_{n_z' n_z}$$

и полноты

$$\sum\limits_{\boldsymbol{k}} \boldsymbol{\Psi^*_{k}}(\mathbf{r'}) \boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{V}\sum\limits_{\boldsymbol{k}} \exp^{i\boldsymbol{k}(\mathbf{r} - \mathbf{r'})} = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'})$$

где $\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'})$ -- дельта-функция.
Я понял, что это выражение означает ряд Фурье для дельта-функции по ортогональной системе $\left\lbrace\boldsymbol{\Psi_{k}}\right\rbrace $. Но тогда $\boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r'})$ должно иметь смысл $k$-го коэффициента этого ряда, то есть значение функции $\boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r})$ при $\mathbf{r'}$. Правильно ли это?
И почему свойство полноты записывается через разложение в ряд дельта-функции?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: несмотря на физическое происхождение вопроса, сам он сугубо математический. Наверное, тут будет уместнее.

[mihiv]

default в сообщении #1084833 писал(а):

Но тогда $\boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r'})$ должно иметь смысл $k$-го коэффициента этого ряда, то есть значение функции $\boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r})$ при $\mathbf{r'}$. Правильно ли это?
И почему свойство полноты записывается через разложение в ряд дельта-функции?

Это правильно. А появление дельта-функции можно пояснить так. Пусть система функций полна, тогда произвольную функцию $f(\mathbf {r})$можно представить в виде:

$$f(\mathbf {r})=\sum \limits _{\mathbf {k}}C_{\mathbf {k}}\Psi _{\mathbf {k}}(\mathbf {r})\qquad (1)$$

, где $C_{\mathbf {k}}=\int \limits _{V}\Psi ^*_{\mathbf k}(\mathbf {r'})f(\mathbf {r'})d^3r'\qquad (2)$. Подставляя выражение (2) для $C_{\mathbf {k}}$ в (1) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим:

$$f(\mathbf {r})=\int \limits _V\left [\sum \limits _{\mathbf {k}}\Psi ^*_{\mathbf {k}}(\mathbf {r'})\Psi _{\mathbf {k}}(\mathbf {r})\right ]f(\mathbf {r'})d^3r'$$

Мы видим, что выражение в квадратных скобках под знаком интеграла имеет свойство дельта-функции. С другой стороны, если найти разложение дельта-функции по системе функций $\Psi _{\mathbf k}$ с помощью формулы (2), то мы получим выражение в квадратных скобках.

[default]

Здравствуйте. Прошу прощения, что долго не мог ответить.
Спасибо Вам, mihiv, за ответ. Помогли.

Хочу спросить ещй про аргументы волновых функций: радиус-векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r'}$. Выражение

$$\sum\limits_{\mathbf{k}}\boldsymbol{\Psi^*_\mathbf{k}}(\mathbf{r'})\boldsymbol{\Psi_\mathbf{k}}(\mathbf{r})$$

равно нулю при $\mathbf{r} \ne \mathbf{r'}$. А сами по себе данные два радиус вектора как связаны? Два разных радиус-вектора из одного множества?

[ewert]

default в сообщении #1087137 писал(а):

А сами по себе данные два радиус вектора как связаны?

Никак. Их просто обязано быть два, и совершенно независимых -- просто по постановке задачи.

[default]

ewert в сообщении #1087156 писал(а):

Никак. Их просто обязано быть два, и совершенно независимых -- просто по постановке задачи.

А задача -- разложение произвольной функции в ряд?