Но тогда
![$\boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r'})$ $\boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r'})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/9/5c99a7d876b873583897fc9960f2d50d82.png)
должно иметь смысл
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-го коэффициента этого ряда, то есть значение функции
![$\boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r})$ $\boldsymbol{\Psi_{k}}(\mathbf{r})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/6/e66467a790fd22bb49436be04194ba8382.png)
при
![$\mathbf{r'}$ $\mathbf{r'}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/6/b568859536d63431e2a8e5a5d7eb0d2a82.png)
. Правильно ли это?
И почему свойство полноты записывается через разложение в ряд дельта-функции?
Это правильно. А появление дельта-функции можно пояснить так. Пусть система функций полна, тогда произвольную функцию
![$f(\mathbf {r})$ $f(\mathbf {r})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/a/aeab6711f69e0730067f86800bebb28c82.png)
можно представить в виде:
![$$f(\mathbf {r})=\sum \limits _{\mathbf {k}}C_{\mathbf {k}}\Psi _{\mathbf {k}}(\mathbf {r})\qquad (1)$$ $$f(\mathbf {r})=\sum \limits _{\mathbf {k}}C_{\mathbf {k}}\Psi _{\mathbf {k}}(\mathbf {r})\qquad (1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/d/13dea052b63c568051fc2d431665bf5182.png)
, где
![$C_{\mathbf {k}}=\int \limits _{V}\Psi ^*_{\mathbf k}(\mathbf {r'})f(\mathbf {r'})d^3r'\qquad (2)$ $C_{\mathbf {k}}=\int \limits _{V}\Psi ^*_{\mathbf k}(\mathbf {r'})f(\mathbf {r'})d^3r'\qquad (2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/c/bacd3c55397b8960acbd3fa8757c53ed82.png)
. Подставляя выражение (2) для
![$C_{\mathbf {k}}$ $C_{\mathbf {k}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/e/9fef019d7338b418dbd77b78d9bd3af882.png)
в (1) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим:
![$$f(\mathbf {r})=\int \limits _V\left [\sum \limits _{\mathbf {k}}\Psi ^*_{\mathbf {k}}(\mathbf {r'})\Psi _{\mathbf {k}}(\mathbf {r})\right ]f(\mathbf {r'})d^3r'$$ $$f(\mathbf {r})=\int \limits _V\left [\sum \limits _{\mathbf {k}}\Psi ^*_{\mathbf {k}}(\mathbf {r'})\Psi _{\mathbf {k}}(\mathbf {r})\right ]f(\mathbf {r'})d^3r'$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/a/4eaf71ee70a4399af5050852966215bb82.png)
Мы видим, что выражение в квадратных скобках под знаком интеграла имеет свойство дельта-функции. С другой стороны, если найти разложение дельта-функции по системе функций
![$\Psi _{\mathbf k}$ $\Psi _{\mathbf k}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/7/a9790128fd8430ada607ecaa23d73a1a82.png)
с помощью формулы (2), то мы получим выражение в квадратных скобках.