Система интегральных уравнений

[Glk63]

Буду весьма признателен за идею численного решения следующей системы интегральных уравнений:

\[ \left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{y_{\min } }^{y_{\max } } {\left( {\int\limits_{x_{\min } }^{x_{\max } } {\frac{{\rho _x \left( x \right)dx}}{{1 + e^{x - X\left( \alpha \right)} + e^{y - Y\left( \alpha \right)} }}} } \right)e^{y - Y\left( \alpha \right)} \rho _y \left( y \right)dy} = \alpha A - \left( {1 + \alpha } \right)e^{ - Y\left( \alpha \right)} \\ \int\limits_{y_{\min } }^{y_{\max } } {\left( {\int\limits_{x_{\min } }^{x_{\max } } {\frac{{\rho _x \left( x \right)dx}}{{1 + e^{x - X\left( \alpha \right)} + e^{y - Y\left( \alpha \right)} }}} } \right)\left( {1 + e^{y - Y\left( \alpha \right)} } \right)\rho _y \left( y \right)dy} = \left( {1 + \alpha } \right)\left( {e^{ - X\left( \alpha \right)} - Ke^{X\left( \alpha \right)} } \right) + B \\ \end{array} \right. \]

где:

\[ {\rho _x \left( x \right)} \]

- известная функция;

\[ X\left( \alpha \right),\;Y\left( \alpha \right) \]

- известные, экспериментально измеряемые величины; A, B, K - константы. Плохо то, что Y измеряется с очень большой ошибкой, что, естественно приводит к недостоверным решениям. Задача - исключить Y из уравнений. Понятно, что сделать это можно только численными методами, но все, что я пробовал (различные варианты самосогласования) не обеспечивает устойчивой сходимости, если начальное приближение Y достаточно далеко от истинного.

[maxal]

Непонятно: $X, Y, \[ \alpha \]$ - это функции и от какого аргумента(ов) (одного и того же)?

[Glk63]

maxal писал(а):

Непонятно: $X, Y, \[ \alpha \]$ - это функции и от какого аргумента(ов) (одного и того же)?

X,Y - функции от "альфа" (исправил в первом топике).

[maxal]

В предположении гладкости этих функций можно заметить, что если

$$F(\alpha) = \ln(1+e^{x-X(\alpha)}+e^{y-Y(\alpha)}),$$

то система переписывается в виде (пределы интегрирования и правые части опускаю):

$$\begin{cases} \int\int - \frac{\partial F}{\partial Y} \rho_x(x)\rho_y(y) dx dy & = \dots\\ \int\int e^{-F} \rho_x(x)\rho_y(y) dx dy & = \dots\end{cases}$$

Пока, правда, непонятно, может ли это чем-то помочь.

[Glk63]

maxal писал(а):

В предположении гладкости этих функций можно заметить, что если

$$F(\alpha) = \ln(1+e^{x-X(\alpha)}+e^{y-Y(\alpha)}),$$

то система переписывается в виде (пределы интегрирования и правые части опускаю):

$$\begin{cases} \int\int - \frac{\partial F}{\partial Y} \rho_x(x)\rho_y(y) dx dy & = \dots\\ \int\int e^{-F} \rho_x(x)\rho_y(y) dx dy & = \dots\end{cases}$$

Пока, правда, непонятно, может ли это чем-то помочь.

Да, интересное преобразование, но и я пока не соображу, как это можно использовать... По физическому смыслу -

\[ {\rho _y \left( y \right)} \]

- ненормированная функция плотности вероятности (т.е.

\[ {\rho _y \left( y \right)} \]

>= 0 для любого y). Систему уравнений можно переписать следующим образом:

\[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{y_{\min } }^{y_{\max } } {U_1 \left( {y,\alpha } \right)\rho _y \left( y \right)dy} = \alpha A - \left( {1 + \alpha } \right)e^{ - Y\left( \alpha \right)} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1) \\ \int\limits_{y_{\min } }^{y_{\max } } {U_2 \left( {y,\alpha } \right)\rho _y \left( y \right)dy} = \left( {1 + \alpha } \right)\left( {e^{ - X\left( \alpha \right)} - Ke^{X\left( \alpha \right)} } \right) + B\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2) \\ \end{array} \right. \\ U_1 \left( {y,\alpha } \right) = e^{y - Y\left( \alpha \right)} \int\limits_{x_{\min } }^{x_{\max } } {\frac{{\rho _x \left( x \right)dx}}{{1 + e^{x - X\left( \alpha \right)} + e^{y - Y\left( \alpha \right)} }}} \\ U_2 \left( {y,\alpha } \right) = \left( {1 + e^{y - Y\left( \alpha \right)} } \right)\int\limits_{x_{\min } }^{x_{\max } } {\frac{{\rho _x \left( x \right)dx}}{{1 + e^{x - X\left( \alpha \right)} + e^{y - Y\left( \alpha \right)} }}} \\ \end{array} \]

Таким образом, как (1), так и (2) относятся к классу уравнений Фредгольма первого рода. Мною разработан алгоритм, позволяющий находить устойчивые решения (1) и (2) при заданных экспериментальных наборах

\[ X\left( \alpha \right),\;Y\left( \alpha \right),\alpha \]

. При этом, решение (1) хорошо описывает плотность при малых значениях y, (2) - при больших. Дабы исключить Y (вернее, уточнить имеющиеся экспериментальные значения), я пытался использовать следующую процедуру. С исходным набором

\[ Y\left( \alpha \right)^{\left( 0 \right)} \]

решается (1). При этом получается некая функция плотности

\[ \rho _y \left( y \right)^{\left( 1 \right)} \]

. Эта функция плотности подставляется в (2) и одномерным поиском для каждого экспериментального значения X вычисляется теоретическое значение

\[ Y\left( \alpha \right)^{\left( 1 \right)} \]

. Далее вычисляется

\[ Y\left( \alpha \right)^{\left( 2 \right)} = \frac{{Y\left( \alpha \right)^{\left( 0 \right)} + Y\left( \alpha \right)^{\left( 1 \right)} }}{2} \]

и используется в (1) для получения уточненной функции плотности и т.д. Такой процесс сходится, но лишь в том случае, если отличия экспериментальных значений Y от истинных не превышают ~10%.