Решение проблемы соседних кубов-ключ к пониманию ВТФ

[binki]

PhisicBGA в сообщении #1084683 писал(а):

Вот здесь Вы ошибаетесь.Треугольное число $<2n(6n+1)>$- абсолютно реально,

Мы это уже рассматривали. $6n+1$ - целое в предположении. Значит и $n$, и все числа с ним - предполагаемые целые. Отсюда и следует, что неизвестное измеряем неизвестным. Базовым (от которого отталкиваемся) может быть и $<2c>$ со всеми последствиями о существовании $<2n(6n+1)>$ по Вашей логике.

[PhisicBGA]

Цитата:

$6n+1$ - целое в предположении.

Опять не верно.Оно не может быть не целым,потому что мы с самого начала рассматриваем только целые значения $<n>$. В предположении у нас находится формула,которая получается при предполагаемом равенстве кубу разности каких либо кубов:$ < 2c > = 2n<6n+1>+ n .(2)$.Может ли произведение треугольного числа данного вида на числовой коэффициент данного вида - $ 2n<6n+1>$ действительно быть равно какому либо треугольному числу - $ < 2c >$ плюс половина данного коэффициента -$< n > $, т.е. $ 2n<6n+1> = < 2c > + n $, при каких либо целых значениях $< n > $.Оказывается - не может.

[PhisicBGA]

Очень приятно, что у идеи с треугольными числами появились сторонники: я имею в виду уважаемого Vasili и его последнее сообщение в его теме: Размышления о ВТФ для Р = 3.Хотя надо отдать должное г-ну Чудову, который первым поднял эту идею в своей теме: ВТФ для соседних кубов. Особенно приятно видеть в работе обозначения ,которые я ввёл для треугольных чисел.На самом деле они, несмотря на их мелкие недостатки,очень удобны при работе с треугольными числами.
Не сомневаюсь, что работать с ними придётся достаточно много тем ,кто хочет найти решение г-на Ферма. Знаете почему?...
Все кубы целых натуральных чисел на 99,9 % состоят из треугольных чисел и вся драматургия ВТФ творится именно там.Это и является ключом к пониманию ВТФ.
Поздравляю всех истинных ценителей красоты математики с Новым годом! Дай Вам бог новых удивительных открытий в наступающем году!

[PhisicBGA]

Обычно перед праздником наводят в доме порядок.Хочу навести порядок в своём доказательстве,максимально упростив в нём методологическую составляющую,по которой и были вопросы.
Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = x^3 .(1)$$

не может быть справедливым для любых не тривиальных целых чисел $x,y $.
Для записи $ x^3 $ воспользуемся формулой, которая уже встречалась на этом форуме:
$x^3= (x-1)x(x+1)+x$. Тогда равенство $(1)$ примет следующий вид:

$$ 3y(y+1) + 1 = (x-1)x(x+1)+x $$

$$ 3y(y+1) = (x-1)x(x+1)+ (x-1) $$

Без ограничения общности положим $ y = 2c $, где $c $-любое целое число,
$ x = 2a +1 $, где $ a = 3n $, где $ n $-любое целое число.
Тогда наше равенство примет следующий вид

$$ 6c(2c+1) = 6n(6n +1)(6n+2)+ 6n $$

Разделив обе части на 6, получим

$$ c(2c+1) = n(6n +1)(6n+2)+ n $$

или

$$ 2c(2c+1) /2 = 2n(6n +1)(6n+2)/2+ n $$

Для удобства введём следующее обозначение:любое треугольное число $z(z+1)/2 = 1+2+3+....+ z$ будем обозначать $< z >$, т.е $ < z > = z(z+1)/2 = 1+2+3+....+ z $.Перепишем наше равенство в этом обозначении:

$$ <2c> = 2n <6n+1> + n .(2)$$

Таким образом , равенство $(1) $. превращается в равенство $(2) $ и для доказательства несправедливости равенства $(1) $ необходимо доказать, несправедливость равенства $(2) $ в области целых чисел т.е. помним , что значения $n $
только целые.
Выразим в равенстве $(2) $ число $ 2n <6n+1> $ ,воспользовавшись одним из основных законов преобразования треугольных чисел- умножения треугольного числа на целочисленный коэффициент:

$$ n<x >= <nx> - <n-1>x^2 $$

Получим

$$ 2n<6n+1> = <2n(6n+1) > - <2n-1>(6n+1)^2 = <2n(6n+1> - n(2n-1)(6n+1)^2 $$

И равенство $(2) $ принимает вид

$$ <2c> = < 2n(6n+1) > - <2n-1>(6n+1)^2 + n .(2) $$

Преобразуем его следующим образом:

$$ < 2n(6n+1) > - <2c> = <2n-1>(6n+1)^2 - n .(2) $$

Отсюда видно, что по абсолютной величине число$< 2n(6n+1) >$ значительно больше числа$<2c>$ т.е. $|< 2n(6n+1) >| >> |<2c>|$
Следовательно,число $<2c>$ мы всегда можем представить в виде

$$ <2c> =< 2[n(6n+1)-k] >$$

,где $k $ -количество вычетов из прогрессии её последних членов до получения прогрессии или треугольного числа $<2c>$
Поскольку мы рассматриваем только целые числа,то и $k $ будет целым числом, удовлетворяющим
неравенству $ k < 6n^2+n $
Для нахождения разности двух четных треугольных чисeл не трудно получить следующую формулу:

$$<2n>-<2(n-k)> = k( 4n+1-2k ) $$

. Применим её к нашему случаю:

$$ <2n(6n+1)>-<2[n(6n+1)-k]> = k[ 4n(6n+1)+1-2k] $$

Подставим его в наше равенство:

$$ k[ 4n(6n+1)+1-2k] = n(2n-1)(6n+1)^2 - n .(2) $$

Осталось найти $ k $ при котором

$$ n(2n-1)(6n+1)^2 - k[ 4n(6n+1)+1-2k] = n .(2)$$

Причём помним, что $ k < 6n^2 +n $. После преобразований этого равенства получим:

$$72n^4-12n^3-(24k+10)n^2-(4k+2)n+(2k-1)k = 0 .(3)$$

Очевидно,что для выполнения этого равенства необходимо что бы $k=bn$,где $b < 6n+1 $-целое число.Подставим это $k=bn$ в равенство $(3)$ и проведя преобразования получим:

$$72n^3-(24b+12)n^2+(2b^2-4b+10)n-(b+2)k = 0 .(4)$$

Для выполнения этого равенства необходимо что бы $b+2 =zn$,где $z $-целое число,причём $ b=zn -2 < 6n+1 $,следовательно $ zn < 6n+3$ т.е. допустимые значения $ z < 6 $ и $ z= 6$
Подставим это значение $b=zn-2$ в равенство $(4)$ и проведя преобразования получим:

$$(72+2z^2-24z)n^2+(36-12z)n+ 6-z =0 .(5)$$

Легко проверить, что при всех допустимых значениях $ z $ равенство $(5)$ не выполняется.
Следовательно не существует таких значений $ k $ при котором выполнялось бы равенство $(2)$.
Таким образом,предположение о том,что разность кубов соседних целых чисел может быть равна кубу целого числа оказывается действительно не верным, поскольку не выполняется равенство $ (2)$,которое было получено из этого предположения.
Вот теперь, по моему, порядок.

[alexo2]

Непонятно, как из (3) получилось (4)

[PhisicBGA]

Цитата:

Непонятно, как из (3) получилось (4)

Уважаемый alexo2 !Спасибо ,что обратили внимание на опечатку:в уравнении $(4)$ конечно же не должно быть $ k $.Правильно так:

$$72n^3-(24b+12)n^2+(2b^2-4b+10)n-(b+2) = 0 .(4)$$