Волькенштейн 9.49

[Lord Gopnik]

Определить напряженность поля и потенциал заряженного по обьему шара.
Радиус шара $R$ , обьемная плотность заряда в шаре $\rho$.
Нарисовать графики напряженности и потенциала.
Мое решение:
1) $\mathbf{r} > R$
Площадь поверхности сферы описанной вокруг шара это $4 \pi \mathbf{r}^2$ .
Обьем шара это $\frac{4}{3} \pi R^3$.
Заряд это $\frac{4 \pi R^3 \rho}{3}$.
По теореме Гаусса поток вектора напряженности равен $\frac{4 \pi R^3 \rho}{3\varepsilon_0}$.
$E(\mathbf{r})4 \pi \mathbf{r}^2 = \frac{4 \pi R^3 \rho}{3\varepsilon_0}$
$E(\mathbf{r}) = \frac{R^3 \rho}{3\varepsilon_0 \mathbf{r}^2}$

2) $\mathbf{r} < R$
Площадь поверхности сферы внутри шара это $4 \pi \mathbf{r}^2$ .
Обьем шара это $\frac{4}{3} \pi \mathbf{r}^3$.
Заряд это $\frac{4 \pi \mathbf{r}^3 \rho}{3}$.
По теореме Гаусса поток вектора напряженности равен $\frac{4 \pi \mathbf{r}^3 \rho}{3\varepsilon_0}$.
$E(\mathbf{r})4 \pi \mathbf{r}^2 = \frac{4 \pi \mathbf{r}^3 \rho}{3\varepsilon_0}$.
$E(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{r} \rho}{3\varepsilon_0}$.

Вопрос про потенциал.
Есть формула $\varphi_1 - \varphi_2 = \int\limits_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}E\,dx$
Какую напряженность тут брать?
И по какой функции график строить?

[мат-ламер]

Lord Gopnik в сообщении #1086054 писал(а):

И по какой функции график строить?

А у вас функция одна. Только разными формулами задана (в разных областях).

[Lord Gopnik]

это понятно.
я про то что при вычислении интеграла получится разность 2 функций плюс константа.
Какую из них брать в качестве потенциала и как с константой определятся?

[DimaM]

Константа определяется из фиксации нуля потенциала в каком-нибудь месте (удобно на бесконечности, но можно и, например, в центре шара).
Остальное будет проще обсуждать, если вы приведете формулы, которые у вас получаются.

[Lord Gopnik]

это для $\mathbf{r} > R$
$\varphi_1-\varphi_2 = \int\limits_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\frac{R^3\rho}{3\varepsilon_0\mathbf{r}^2}\,d\mathbf{r} = \frac{R^3\rho}{9\varepsilon_0}(\frac{1}{\mathbf{r}_1^3}-\frac{1}{\mathbf{r}_2^3}) + C$

[мат-ламер]

Lord Gopnik
Напряжённость поля - функция векторная. Потенциал - скалярная функция. Пересчитайте всё заново. Тщательнее.

-- Вс дек 27, 2015 14:23:02 --

Посмотрите в учебнике, как записывается напряжённость и потенциал одиночного заряда и сравните с тем, что вы вычислили для области вне шара.

[Lord Gopnik]

вот исправленный вариант для $\mathbf{r} > R$

$q=\frac{4\pi R^3\rho}{3}$


$\varphi_1-\varphi_2 = \int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\mathbf{r}^2}\,dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{\mathbf{r}_1}-\frac{1}{\mathbf{r}_2}) + C$
вот я посчитал разность потенциалов(в этот раз вроде правильно) как от сюда получить потенциал?

[мат-ламер]

Вы только не путайте $r$ и $\mathbf{r}$. (Поскольку неясно, как единицу разделить на вектор). Пусть теперь вторая точка удаляется на бесконечность.

[Pulseofmalstrem]

А можно Я попробую из наивных соображений?
1) Вне сферы потенциал будет такой как от точечного заряда:
$ r \geqslant R \\ \varphi = \frac{kq}{r} + \mathsf{C} = \frac{4 \pi R^3 \rho}{12 \pi \varepsilon_0 r} + \mathsf{C} = \frac{ \rho R^3}{ 3\varepsilon_0 r} + \mathsf{C}$
2) Внутри сферы потенциал можно представить ввиде суперпозиции двух потенциалов - внешней сферической оболочки и внутренней части шара. Нам потребуются предварительные вычисления:
$ r < R$
Оценим заряд $dq$ расположенной на сфере радиуса $l$:
$dq = \rho dV = \rho S dl = 4 \pi l^2 \rho dl$
Как известно из еще школьного курса электростатики потенциал внутри однороднозаряженной сферы постоянный, а значит мы можем вычислитель маленький потенциал каждой бесконечно-тонкой сферы:
$d\varphi = \frac{k dq}{l} = \frac{4\pi l^2 \rho dl}{4 \pi \varepsilon_0 l}= \frac{\rho l dl}{\varepsilon_0}$

Найдем теперь полный потенциал, создаваемый сферическим слоем:

$\varphi = \int\limits_{R - r}^{R} \frac{\rho l dl}{\varepsilon_0} = \frac{\rho}{2\varepsilon_0}(R^2 - R^2 + 2Rr - r^2) = \frac{\rho(2Rr - r^2)}{2 \varepsilon_0}$

Ну и добавим внутренний заряд к этой формуле, аналогично вышеуказанному и не забудем про калибровочную постоянную:

$\phi = \frac{\rho(2Rr - r^2)}{2 \varepsilon_0} + \frac{ \rho r^3}{ 3\varepsilon_0 r} + \mathsf{C}$

[мат-ламер]

Pulseofmalstrem в сообщении #1086322 писал(а):

Внутри сферы потенциал можно представить ввиде суперпозиции двух потенциалов - внешней сферической оболочки и внутренней части шара

Как вариант, можно потенциал считать через напряжённость поля, причём напряжённость, создавемая оболочкой, нулевая.

[Pulseofmalstrem]

мат-ламер
А можно просто решить вот такое уравнение:
$\vec{E} = - \nabla \phi $
Или прям сразу:
$ \triangle \phi = 4 \pi \rho$

[DimaM]

Lord Gopnik в сообщении #1086250 писал(а):

$\varphi_1-\varphi_2 = \int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\mathbf{r}^2}\,dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{\mathbf{r}_1}-\frac{1}{\mathbf{r}_2}) + C$
вот я посчитал разность потенциалов(в этот раз вроде правильно) как от сюда получить потенциал?

Зафиксируйте где-то нуль потенциала. Например, как это обычно делается, на бесконечности ($r_2\to\infty$). Отсюда определится константа.

[Lord Gopnik]

DimaM в сообщении #1086427 писал(а):

Lord Gopnik в сообщении #1086250 писал(а):

$\varphi_1-\varphi_2 = \int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\mathbf{r}^2}\,dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{\mathbf{r}_1}-\frac{1}{\mathbf{r}_2}) + C$
вот я посчитал разность потенциалов(в этот раз вроде правильно) как от сюда получить потенциал?

Зафиксируйте где-то нуль потенциала. Например, как это обычно делается, на бесконечности ($r_2\to\infty$). Отсюда определится константа.

Тоесть эта разность потенциалов и есть потенциал?
Как тогда выбрать $\mathbf{r}_1$?
Получается $C = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\mathbf{r}_1}$ ?

[DimaM]

Lord Gopnik в сообщении #1086434 писал(а):

Тоесть эта разность потенциалов и есть потенциал?

Потенциал - это разность между точкой, значение в которой принято за нуль, и какой-нибудь другой точкой. Например, выбираем $\varphi=0$ на бесконечности ($r_1,r_2\to\infty$).