геодезическая

[arseniiv]

(Угловые скобки)

\langle Y, Z\rangle $\langle Y, Z\rangle$.

[svv]

greg2 в сообщении #1085903 писал(а):

И загвоздка здесь в том, что если не брать ортогональную проекцию и посчитать скалярное произведение этого вектора, который получился с $Z$ и во втором слагаемом то же самое, то как раз получится равенство, которое требуется доказать. Но ведь так не должно быть. И, напротив, если взять ортогональную проекцию, там выходит черти что.

Скалярное произведение не зависит от того, возьмете Вы проекцию или нет, потому что нормальная проекция $\bar\nabla_{\bar X} \bar Y$ ортогональна $\bar Z$ в любой точке $p\in M$ и не даёт вклада в скалярное произведение. И это надо использовать.

Советую проделать всё в бескоординатном виде.

[greg2]

действительно, поэтому и получается то же самое. Спасибо большое.

А каким образом в бескоординатном виде можно записать действие афинной связности?

[alcoholist]

greg2 в сообщении #1085163 писал(а):

ПРОЕКЦИЯ вектора второй производной на касательное пространство к поверхности в данной точке должно равняться нулю

Есть "физическое" объяснение этого факта. Пусть материальная точка никуда не может сбежать с поверхности и движется по ней. Согласно второму и третьему законам Ньютона вектор ускорения точки должен быть коллинеарен вектору нормальной реакции опоры, то есть вектору нормали к поверхности.

[svv]

greg2, я бы начинал так.
$g(\nabla_X Y, Z)+g(Y, \nabla_X Z)$ это правая часть формулы, которую надо вывести
$=g(\pi^\top(\bar\nabla_{\bar X}\bar Y), Z)+g(Y, \pi^\top(\bar\nabla_{\bar X}\bar Z))$ по определению тангенциальной связности
$=\bar g(\bar\pi^\top(\bar\nabla_{\bar X}\bar Y), \bar Z)+\bar g(\bar Y, \bar\pi^\top(\bar\nabla_{\bar X}\bar Z))$ потому что индуцированная метрика $g=f^*\bar g$, и $g(X, Y)=\bar g(f_* X, f_* Y)$
$=\bar g(\bar\nabla_{\bar X}\bar Y, \bar Z)+\bar g(\bar Y, \bar\nabla_{\bar X}\bar Z)$ т.к. $\bar\pi^\bot(\bar Y)\perp \bar Z$, где вектор $\bar Y$ любой, а $\bar Z=f_* Z$ касательный к $M$
$=\bar X \bar g(\bar Y, \bar Z)$ так как в $\bar M$ связность согласована с метрикой
Здесь $f_*=df$ дифференциал (pushforward), $f^*$ кодифференциал (pullback),
$\bar \pi^\top=f_*\circ \pi^\top$, т.е. $\bar \pi^\top: T\bar M\to T\bar M$, в отличие от $\pi^\top: T_{f(p)}\bar M\to T_pM$

Попробуйте продолжить.