Выбираем числа из первой тысячи

[Ktina]

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из

$$1,\quad 2,\quad\dots ,\quad 1000$$

так, чтобы сумма любых трёх различных выбранных чисел не была выбранным числом?

[NSKuber]

$668$: все числа от $333$ до $1000$ (или от $332$ до $999$). Очевидно, условию такой набор удовлетворяет.
Доказывал тут, доказывал, и понял, что чушь в конце
Но ответ, мне кажется, правильный.

[Ktina]

NSKuber
И мне он таким кажется.

[NSKuber]

Что-то у меня пример в скобках плохой в предыдущем сообщении, верен только первый.

Предположим, что существует набор $S$ с $\geq 669$ числами. Тогда, по Дирихле, наименьшее число $a\in S$ не превосходит $332$, а второе по величине $b$ не превосходит $333$. Тем самым существуют $a,b\in S: a+b\leq 665$.

Тогда, очевидно, в $S$ не может быть обоих чисел $335, 335+(a+b)$ одновременно, одно из них должно отсутствовать. Пусть $335\in S$. Тогда $335+(a+b) \notin S$. Отсюда, по тому же Дирихле, получаем, что на самом деле $a\leq 331,b\leq 332$, а третье по величине $c\leq 333$. Аналогично, в $S$ не может быть обоих чисел $335, 335+(b+c)$ одновременно. Значит в $S$ отсутствует $335+(b+c)$. Повторяем рассуждение до получения количественных противоречий.

Таким образом, $335\notin S$. Отсюда, по тому же Дирихле, получаем, что на самом деле $a\leq 331,b\leq 332$. Мне кажется, что теперь повторением рассуждения выше можно показать, что $336\notin S$, $337\notin S$ и т.д., пока к противоречию не придём.

[Ktina]

NSKuber
Спасибо!