Савченко 2.2.5

[KostikBigOne]

Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей из Савченко (2.2.5). Текст задачи:

Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $\alpha$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $\alpha$ он вообще не сдвинется?

Моё решение: из закона сохранения импульса (в данном случае, сохраняется только горизонтальная проекция импульса) следует, что $mv\sin{\alpha}=(M+m)v'$, откуда находим скорость ящика сразу после попадания пули: $v'=\frac{m}{M+m}v\sin{\alpha}$. После этого на ящик с пулей не будут действовать никакие силы, кроме силы трения, которая будет сообщать ускорение $a={\mu}g$. Тогда искомое время $t=\frac{v'}{a}=\frac{mv\sin{\alpha}}{(M+m)\mu g}$. Савченко приводит похожий ответ: $t=\frac{mv(\sin{\alpha}-\mu\cos{\alpha})}{(M+m)\mu g}$ при $\mu<\tg{\alpha}$; в противном случае ящик не двигается.

Судя по ответу, ошибка в вычислении скорости. Где же всё-таки закралась ошибка?

[Ms-dos4]

KostikBigOne
Так ошибка в том, что пуля влетев в ящик, увеличила силу трения, а вы взяли и эту составляющую скорости пули просто выкинули. Подумайте, как записать ЗСИ (я бы даже сказал не ЗСИ, а закон изменения импульса, $\[\Delta p = F\Delta t\]$)

[KostikBigOne]

Ms-dos4
Ошибку я, кажется, понял. Когда пуля влетит в ящик, она подействует на него с некоторой силой. В ответ сила нормальной реакции увеличится, чтобы ящик не "утонул" (у той силы есть и вертикальная составляющая). Соответственно, вырастет и сила трения.
Что касается ЗСИ, то я не пока не вижу, как это сделать (я ещё нуб ). Единственная запись, приходящая в голову: $\Delta \vec{N}=\frac{d\vec{p}}{dt}$, но как узнать отсюда силу $\Delta \vec{N}$ (увеличение силы реакции опоры), я ума не приложу
Если что-то я сказал не так, исправьте, пожалуйста.

[Ms-dos4]

KostikBigOne
Ну смотрите. Давайте запишем $\[\Delta \vec p = \vec F\Delta t\]$ (вы же школьник?) в проекциях (а в системе есть сила тяжести, трения и нормального давления)
$\[\left\{ \begin{array}{l} (M + m){v_x} - m{u_x} = - \mu N\Delta t\\ m{u_y} = (N - (m + M)g)\Delta t \end{array} \right.\]$
(была ошибка в знаке в правой части первого уравнения, fix).
Найдите отсюда $\[N\]$, подставьте в первое уравнение и перейдите к $\[\Delta t \to 0\]$. Получите то, что нужно.

[KostikBigOne]

Ms-dos4
Сначала отвечу на Ваш вопрос.

Цитата:

вы же школьник?

Да, я школьник. Полагаю, меня выдали смайлики.

А за ответ вам большое спасибо. В этой задаче я всё понял (если коротко о моей ошибке, мне надо было нарисовать всю динамику системы).

[мат-ламер]

Ms-dos4 в сообщении #1085936 писал(а):

Так ошибка в том, что пуля влетев в ящик, увеличила силу трения,

Пуля, влетев в ящик, увеличивает силу трения только в самом начале движения (своим импульсом). После остановки пули она практически (если пренебрежём её весом) на силу трения не влияет.

[Ms-dos4]

мат-ламер
Эм, естественно. Но начальная скорость то будет другая. Я даже систему выписал, из которой получается нужное значение.

[мат-ламер]

Ms-dos4 в сообщении #1086006 писал(а):

Я даже систему выписал, из которой получается нужное значение.

Систему не смотрел, но думаю, что там идея в том, что потеря горизонтального импульса равна вертикальному импульсу пули, умноженного на коэфициент трения.

-- Сб дек 26, 2015 18:53:13 --

Ms-dos4
Я с вами не спорю. Просто сначала подумал, что решение надо разбить на два этапа, а потом пришёл к выводу, что это совсем не обязательно. Абсолютно без разницы для ответа, как влияние вертикального импульса пули распределено по времени.

[Ms-dos4]

мат-ламер
Ну да, её решают в два этапа. Сначала находят начальную скорость, а потом уже кинематика идёт (силу трения мы знаем, причём она уже "обычная"). И ТС в принципе верно сделал вторую часть, у него лишь неверно найдена начальная скорость ящика.
P.S.Так и получается из системы (я кстати сейчас заметил, что ошибся в знаке в правой части первого уравнения, сейчас исправил), что $\[(M + m){v_x} = m{u_x} - \mu m{u_y}\]$