Кольца, поля

[JeKaCompaS]

Доброе времени суток.

Нужна помощь, мучаюсь уже неделю с решением двух задач:

1. Пусть $A$ - кольцо, $I$ - идеал кольца $A$. Верно ли, что если $A$ - коммутативное кольцо, то и $A/I$ - коммутативное кольцо
2. В поле $F_{2^5}$ решить уравнение $x^2+t+1=0$, где $t \in F^*_{2^5}$

По-первому мысли доказать от противного.
Но встал вопрос, как получить некоммутативное факторкольцо от коммутативного кольца?
Второе - вообще глухо...

очень прошу помощи, заранее спасибо!

[NSKuber]

А зачем вам противный в первом? Определений факторкольца и коммутативного кольца вполне достаточно, чтобы напрямую доказать.

[Sonic86]

Во 2-й задаче в чем проблема?
Можете начать с простого перебора - поле конечно.

[AV_77]

Во второй ничего перебирать не надо (да это и бесполезно). Нужно просто вспомнить одно из основных свойств конечных полей и представить свободный член в виде квадрата.

[JeKaCompaS]

С первой разобрался.

А вот со второй - что за свойство?
представили в виде квадрата - а что дальше?

[Brukvalub]

В поле характеристики $p$ всегда $(a+b)^p=a^p+b^p$ .

[JeKaCompaS]

То есть мы сворачиваем в квадрат суммы, затем по этому свойству превращаем в $x^2+1$?

[Brukvalub]

То есть напишите выкладки.

[JeKaCompaS]

$x^5+1=-t$
$x^5+1^5=-t$
$(x+1)^5=-t$
$x+1=(-t)^{1/5}$

[Brukvalub]

Было:

JeKaCompaS в сообщении #1085311 писал(а):

В поле $F_{2^5}$ решить уравнение $x^2+t+1=0$

Стало:

JeKaCompaS в сообщении #1085758 писал(а):

$x^5+1=-t$

Как так?

[JeKaCompaS]

Ошибка в первом сообщении
$x^5+t+1=0$

[Brukvalub]

Но никто, кроме вас, до сих пор не знал, что в первом сообщении вами написано ошибочное уравнение, и все подсказывали, как решить то, ошибочное уравнение. А вы, ни о чем не задумываясь, стали решать правильное уравнение, используя подсказки для другого, ошибочного уравнения? У меня просто нет слов...

[JeKaCompaS]

Собственно, обнаружил ошибку в первом посте только после Вашего сообщения.
Прошу прощения.

Собственно, есть идеи?
Ведь характеристика поля равна 25, а значит мои выкладки не верны.

[Someone]

JeKaCompaS в сообщении #1085802 писал(а):

Ведь характеристика поля равна 25

А что такое характеристика поля? И чем она отличается от порядка поля?

[AV_77]

Вы, для начала, нормальное условие задачи приведите. А то непонятно, какой многочлен, какое поле...