Факторкольцо

[joulan]

Задача.
При каком условии в факторкольце $R[x]/(x^2)$ имеет место равенство $(f(x) + (x^2))(g(x) + (x^2)) = 0 + (x^2)$? Приведите примеры полиномов $f(x)$, $g(x)$ для которых выполняется указанное равенство.

$R[x]$ - кольцо полиномов с вещественными коэффициентами.

Очевидно, что $f(x)g(x) = 0$. Т.е. делители нуля в этом факторкольце. Но есть сомнения и кажется, что кольцо целостное и тут только тривиальный делитель нуля (он же). Вопрос : является ли факторкольцо ($R[x]/(x^2)$) целостным? Почему?

[Brukvalub]

А чему в этом факторкольце равен квадрат элемента $x+(x^2)$ ?

[joulan]

Brukvalub в сообщении #1085478 писал(а):

А чему в этом факторкольце равен квадрат элемента $x+(x^2)$ ?

$(x + (x^2))(x + (x^2)) = x^2 + (x^2) = 0 + (x^2)$ если посмотреть Wiki

[Brukvalub]

Является ли это кольцо целостным?

[joulan]

Brukvalub в сообщении #1085485 писал(а):

Является ли это кольцо целостным?

Вот в этом и вопрос

[Lia]

Вопрос еще и в том, знаете ли Вы определение.

[joulan]

Lia в сообщении #1085491 писал(а):

Вопрос еще и в том, знаете ли Вы определение.

Я надеюсь что знаю. Кольцо коммутативное, с единичным элементом, без делителей нуля (нетривиальных)?

[Lia]

Боюсь, что больше к теме нечего добавить. Вообще. Разве что Вы.

[joulan]

Lia в сообщении #1085496 писал(а):

Боюсь, что больше к теме нечего добавить. Вообще. Разве что Вы.

Добавляю. $R[x]$ - кольцо полиномов и является целостным очевидно. Могу ли я утверждать что факторкольцо ($R[x]/(x^2)$) тоже будет являться целостным? Вряд ли. Ведь в данном факторкольце полином вида $a_nx^{2n} + a_{n-1}x^{2(n-1)} ... + a_1x^2 + 0 \equiv 0 \mod x^2$. Вот в принципе и этому должно быть равно произведение $f(x)g(x)$. К примеру $f(x) = x^3 + x$, $g(x) = x$.

Уважаемые знатоки, можно ли данные рассуждения считать правильными?

[Lia]

joulan
Я даже не знаю, что Вам посоветовать - перечитать тему, определения или научиться с ними работать. Или научиться читать. Вопрос целостности давно выяснен, как Вы не видите?

Кстати, $x^3$ какому классу смежности принадлежит?

[AV_77]

joulan в сообщении #1085498 писал(а):

можно ли данные рассуждения считать правильными?

Пока никаких рассуждений еще нет, так, какие-то обрывки.

joulan в сообщении #1085498 писал(а):

Ведь в данном факторкольце полином вида $a_nx^{2n} + a_{n-1}x^{2(n-1)} ... + a_1x^2 + 0 \equiv 0 \mod x^2$.

И не только такие многочлены, а еще много других.

[joulan]

Lia

$x^3 \equiv x \mod x^2$. Учусь читать. Получил полиномы вида $ax + b$. Надо прекратить читать.

[Lia]

joulan в сообщении #1085587 писал(а):

$x^3 \equiv x \mod x^2$

Обоснуйте.

[joulan]

Lia в сообщении #1085588 писал(а):

joulan в сообщении #1085587 писал(а):

$x^3 \equiv x \mod x^2$

Обоснуйте.

Данное факторкольцо - кольцо классов вычетов - множество классов смежности полиномов с вещественными коэффициентами ($R[x]$) по модулю идеала ($(x^2)$). Класс смежности элемента $x^3$ по модулю идеала образованного элементом $x^2$ есть $x$
$(x^2) = R[x]x^2 = \{ rx^2 + x^2 + x^2 + ... + x^2 | r \in R[x] \}$
$x^3 = xx^2$

Вроде букв достаточно, или же нет? (теперь учусь различать буквы)

[Lia]

Буков много, но все не те.
Вы совершенно напрасно задираетесь, Вас никто не обижал и не собирался. Если Вы не умеете прочитать определение, то как мне это назвать?
Проясните для себя вопрос, что же является идеалом $(x^2)$ и какие многочлены туда входят. То, что Вы пишете сейчас, как-то, скажем так, непрозрачно для постороннего.