норма функции

[Andrey_Kireew]

Помогите пожалуйста разобраться
ошибка конечноэлементной аппроксимации решения уравнения Пуассона, в случае линейных базисных функций определяется как
$\left\lVert\varphi - \tilde{\varphi }\right\rVert_0\leqslant C\cdot h^2\left\lVert \varphi\right\rVert_2$, где $\varphi$ - истинное значение потенциала, $\tilde{\varphi}$ - его аппроксимация, $C$ - некоторая постоянная, $ h $ - шаг расчётной сетки.
насколько я понимаю $\left\lVert\varphi - \tilde{\varphi }\right\rVert_0=max\left\lvert \varphi - \tilde{\varphi } \right\rvert$
$\left\lVert \varphi\right\rVert_2=max\left\lvert \varphi \right\rvert + max\left\lvert grad(\varphi) \right\rvert + max\left\lvert div(grad(\varphi)) \right\rvert $

получается что при вычислении второй нормы складываются величины разных размерностей ($V, V/m, V/m^2$), поэтому величина второго и третьего слагаемых нормы будут зависить от выбора размерности независимых переменных (x,y,z), следовательно и величина ошибки будет зависеть от выбора единиц измерения незпвисимых переменных, чего быть очевидно не должно
объясните пожалуйста в чём тут дело? правильно ли я вычисляю нормы функций?

[ewert]

Andrey_Kireew в сообщении #1084735 писал(а):

следовательно и величина ошибки будет зависеть от выбора единиц измерения незпвисимых переменных, чего быть очевидно не должно

Следовательно, и литр молока (или какой другой жидкости) неизвестно сколько весит: то ли 1 без малого, то ли 1000 аналогично, то ли ещё чего... Ведь единицы-то -- разные!

С чего Вы взяли, что та Цэ должна быть безразмерной?...

[Andrey_Kireew]

ewert в сообщении #1085217 писал(а):

Следовательно, и литр молока (или какой другой жидкости) неизвестно сколько весит: то ли 1 без малого, то ли 1000 аналогично, то ли ещё чего... Ведь единицы-то -- разные!

С чего Вы взяли, что та Цэ должна быть безразмерной?...

Вы не поняли вопроса
я не говорю что она должна быть безразмерной, напротив считаю что размерность должна быть, так как потенциал измеряется в вольтах, напряженность в В/м, вторая производная пропорциональна плотности заряда, т.е. это всё реальные физические величины

мой вопрос в том как можно их просто так складывать? такая операция не имеет содержательного смысла

на примере всё того же молока: 100 мл молока, 500 мл воды, 200 гр. крупы (рецепт каши)
единицы измерения можно измерить: 0,1л молока, 0,5кг воды, 0,2 кг крупы - суть от этого не моняется, так как существует взаимно однозначное соответствие единиц измерения
в любом случае мы можем найти общий вес этой каши - 800 грам, или 0,8кг

но между единицами измерения потенциала, напряженности и дивергенции нет такого соответствия, это величины разной природы. в чём будет измерятмя результат?
в вольтах? в вольтах на метр? по моему это абсурд

[ewert]

Andrey_Kireew в сообщении #1085247 писал(а):

Вы не поняли вопроса

Вы не поняли ответа.

Те Це -- подстраиваются своими размерностями под любые выражения. Це -- она на то и Це, что конкретное значение её нам не важно. Соответственно, какой размерности ей понадобится быть -- такой и будет.

[Andrey_Kireew]

ewert в сообщении #1085249 писал(а):

Те Це -- подстраиваются своими размерностями под любые выражения. Це -- она на то и Це, что конкретное значение её нам не важно. Соответственно, какой размерности ей понадобится быть -- такой и будет.

согласен что для одного слагаемого Це решает проблемму, но там же их три и у всех разная размерность, из за этого меняется сама пропорция, т.е. в одних единицах доминирующее влияние на ошибку будет оказывать заряд, в других единицах - напряженность, а в третих - сам потенциал, и всё это для одной и той же задачи

если бы было три разных Це - то всё встало бы на свои места, но там Це одно, а в определении нормы вообще нет никаких коэффициентов

[ewert]

Andrey_Kireew в сообщении #1085257 писал(а):

но там же их три

У Вас там она была ровно одна; но не в этом дело.

Andrey_Kireew в сообщении #1085257 писал(а):

т.е. в одних единицах доминирующее влияние на ошибку будет оказывать заряд, в других единицах - напряженность, а в третих - сам потенциал, и всё это

Вы путаете общую математическую модель задачи (которой физика вообще до лампочки) с физическим приложением этой математической модели.

Математика интересуется лишь сугубо математическими свойствами алгоритмов решения той задачи, которую ей посунули физики.

В данном конкретном случае: она интересуется, с какой скоростью будут сходиться приближённые решения (а они заведомо не более чем приближённые).

Физики же обязаны а) принять к сведению этот общий анализ, т.е. прикинуть, через сколько итераций будет достигнут хоть сколько-то приемлемый (математически) результат и б) ну перевести в свои единицы измерений, ессно.

Но -- не более того.

[Andrey_Kireew]

математика, так же как и физика, это строгая наука, базирующаяся на законах логики
даже если математиков и не интересует специфика конткретных задач, это вовсе не означает, что она допускает рассмотрение задачь с явными физическими противоречиями, так как противоречие - это первый признак заблуждения
так и здесь с размерностями имеется явное противоречие и то, что "...размерность тут не важна для математиков, им главное скорость сходимости" - это не объяснение, а уход от него

мне самому в конечном счёте важна скорость сходимости, но по обозначенным выше причинам её оценить невозможно, так как для разных единиц измерения координат она будет совершенно разной

понятно, что в этих формулах нет ошибки, а просто я их немогу правильно интерпретировать и применить, вообще для меня всё это очень сложно, поэтому и прошу совета у специалистов

к сожалению пока ответа на свой вопрос я не получил и он остаётся открытым

[ewert]

Andrey_Kireew в сообщении #1085287 писал(а):

по обозначенным выше причинам её оценить невозможно, так как для разных единиц измерения координат она будет совершенно разной

Её вовсе не по этим причинам оценить "невозможно", а по гораздо более принципиальным: численное значение этой константы практически никогда не доступно, независимо от единиц измерения. Практическую ценность представляет лишь квадрат шага, и это уже очень много. Гуглите на "правило Рунге".

[Andrey_Kireew]

Меня интересуют именно априорные оценки, так что правило Рунге и другие способы апостериорного оценивания,
но вообще вы правильно поняли, я хочу всёже хотябы ориентировочно определить эту константу, думаю что для конкретной задачи (заданная расчётная область, заданная сетка, диапазоны изменения параметров среды) её определить всёже возможно

я тут разобрался, что в функциональных пространствах Dn удобно оценивать близость функций вместе с их производными, в принципе имеет место таже самая проблемма, но тут ладно, при сближении функций расстояние между ними в этой норме стремится к нулю независимо от размерностей производных и это я ещё могу понять,

но в вырашении для ошибки (см. моё первое сообщение) функции вообще сравниваются в разных нормах, слева в пространствн $C$, справа в пространстве $D_2$, и к нулю там эти нормы не стремятся,
причём в разных источниках в конце концов приводится именно эта формула,
кстати в пространстве $D_1$, т.е. вместе с производной сходимость уже не квадратичная а линейная, хотя норма справа в выражении для ошибки остаётся такой же

как это вообще понимать? потенциал ведь сходится с квадратом шага, значит ли это, что линейной сходимость становится только из за производной?
но тогда ведь понятнее было бы написать
$\left\lVert grad(\varphi)\right\rVert_0\leqslant C \cdot h\left\lVert div(grad(\varphi))\right\rVert_0$
это тоже самое что и
$\left\lVert \varphi\right\rVert_1\leqslant C \cdot h\left\lVert\varphi\right\rVert_2$
или нет?
вообще в одномерном случае я втречал что ошибки выражаются через нормы производных, но в многомерном случае всегда появляются нормы самой функции
в этом смысл какой то заложен или просто для общности так делается?