Собственные числа и собственные вектора

[xprwt]

Здравствуйте

Моя проблема в следующем. Не могу найти примера вычисления собственных чисел и собственных векторов где было бы указано - для оператора с дискретным или непрерывным спектром такое вычисления осуществляется. Не мог бы кто-нибудь привести здесь два самых простых примера для сравнения - один пример вычисления указанных значений для оператора с дискретным спектром, другой - для такого же с непрерывным ?

Ну что то вроде вот таких вычислений

Спасибо

[ИСН]

Вы думаете не так. Будто они все - объекты из одной тусовки, а дискретность или непрерывность - второстепенная деталь, вишенка на торте. Вот это не так.
Хорошим начальным приближением может служить следующее: пример для оператора с дискретным спектром находится по Вашей ссылке, а операторов с непрерывным спектром "вообще не бывает".

[fraqix]

Цитата:

Хорошим начальным приближением может служить следующее: пример для оператора с дискретным спектром находится по Вашей ссылке, а операторов с непрерывным спектром "вообще не бывает".

Нельзя так совсем "приближаться", у человека неправильные представления сложатся.

На эту тему на форуме был хороший юмор:

Цитата:

Физика: Электродинамика и теория относительности (4 курс II семестр) и квантовая механика (5 курс I семестр). Читают физики с Физфака. Не понимает практически никто. Не знаю, что уж там было раньше, не знаю, что думает о математизированности курса лекций лектор, но на словах "будем понимать скалярное произведение векторов гильбертова пространства в смысле обобщенных функций", ну или как-то так, я лично сдался. То есть говорят, что это теория оснащенных гильбертовых пространств называется, да? Это всё, что я знаю об этой теории - название. Ну он нам предлагал "поверить, что это так". Ну как мы можем поверить в утверждение, формулировку которого не понимаем?

Да, общая формальная теория -- это сложно: оснащённое гильбертово пространство на пространстве основных функций с пополнением Шварца или как там правильно будет? В большинстве задач переменные не пересекаются: они либо дискретные, либо непрерывные, смесь -- это экзотика. Дискретный спектр конечномерных дискретных систем решается методами стандартной линейной алгебры. Дискретный спектр бесконечномерных дискретных систем обычно находится либо решением соответствующих дифференциальных уравнений (пример -- шредингеровское решение для атома водорода), либо квантованием гамильтонианов как это сделано с квантовым осциллятором и рядом других задач. По теореме Рисса из функционального анализа для связанных систем (вероятность убывает на бесконечности) всегда может быть найден дискретный базис, в квантовой механике одномерных систем за такой базис обычно берут фоковский. Наконец, непрерывный спектр бесконечномерных систем вообще искать не надо -- он и так известен.

А вот смешанный спектр, где от смешанности легко не избавиться -- ещё более сложный случай, но мне с ним сталкиваться не приходилось.

[ewert]

fraqix в сообщении #1084843 писал(а):

А вот смешанный спектр, где от смешанности легко не избавиться -- ещё более сложный случай, но мне с ним сталкиваться не приходилось.

Погрузите какой-нибудь атом в однородное магнитное поле. У него связанные состояния прекрасно сохранятся (как воистину связанные), и при этом сядут на непрерывный спектр.