Сходимость последовательности операторов

[demolishka]

Заданы операторы $U_n : L^1(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})$, где

$$(U_n x)(\tau) = \int\limits_{-n+\tau}^{n+\tau}x(t)e^{-\frac{(\tau-t)^2}{2}}dt.$$

Нужно исследователь эту последовательность операторов на поточечную и сильную сходимость. Заменой переменной можно свети к более удобному (или нет) виду:

$$(U_n x)(\tau) = \int\limits_{-n}^{n}x(\tau+\xi)e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi = \int\limits_{-n}^{n}x(\tau-\xi)e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi.$$

Можно проверить поточечную сходимость к кандидату $(Ux)(\tau) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}x(\tau-\xi)e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi:$

$$\|Ux-U_nx\| = \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\tau \left(\int\limits_{|\xi|>n}x(\tau-\xi)e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}},$$

здесь видно, что если $x$ - финитная функция, то сходимость имеет место и, следовательно, по теореме Банаха-Штейнгауза(равномерная ограниченность следует из неравенства Юнга для свертки и неравенства $\|U_n\| \leq \|U\|$), она имеет место для всех $x \in L^1(\mathbb{R}).$

Далее по всей видимости придется показывать отсутствие сильной сходимости. С этим возникли проблемы, те варианты последовательностей $x_n$ которые я перебирал не подошли (например, $x_n(t) = 1$ при $t \in [0;n^2]$ и $x_n(t)=0$ иначе).

[demolishka]

На самом деле имеется сильная сходимость и все оказалось проще. Надо применить Гёльдера

$$\left(\int\limits_{|\xi|>n}x(\tau-\xi)e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi\right)^2 \leq \|x\|_{L^1} \int\limits_{|\xi|>n}x(\tau-\xi)e^{-\xi^2}d\xi,$$

а потом отщепить кусок экспоненты: $e^{-\xi^2} \leq e^{-\frac{\xi^2}{2}}e^{-\frac{n^2}{2}}$ при $|\xi|>n.$
И далее поменять порядок интегрирования в интеграле

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\tau\int\limits_{|\xi|>n}x(\tau-\xi)e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi.$$

И получим, что

$$\frac{\|Ux-U_nx\|_{L^2}}{\|x\|_{L^1}} = O\left(e^{-\frac{n^2}{4}}\right).$$

Либо можно отщепить кусок экспоненты уже на этом моменте

demolishka в сообщении #1084796 писал(а):

$$\|Ux-U_nx\| = \left( \int\limits_{-\infty}^{+\infty}d\tau \left(\int\limits_{|\xi|>n}x(\tau-\xi)e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}},$$

Далее внутренний интеграл оценить грубо как интеграл по всей оси и применить неравенство Юнга для свертки.