Новогодние суммы натуральных чисел

[gris]

На доске выписаны в ряд $2016$ натуральных чисел. Доказать, что существует несколько чисел, стоящих подряд, сумма которых делится на $2016$.

Я понял, что "несколько" подразумевает и одно число. Шаг к решению: заменить все числа по модулю $2016$.

[NSKuber]

Подсказка: рассмотрите "частичные суммы" последовательности: первое, сумму первого и второго, сумму первых трёх и т.д. по модулю 2016.

[gris]

Рассматриваю. Ничего хорошего, в смысле нуля, не нахожу
Например, тысяча единиц, потом $2015$, потом одни единицы.

[arseniiv]

Этих сумм всего сколько?

[gris]

Частичных $2016$. Допустим, что все разные. Тогда есть ноль. Значит, есть две одинаковые. Дирихле. А, понял, между ними и будет искомый отрезок. Спасибо.

[arseniiv]

(Новогодние злоключения.)

Веселит, что я к решению подошёл каким-то окольным путём, сначала предположив, что всевозможные отрезочные суммы ненулевые, а потом составив пары из отрезочных слагаемых самой большой суммы, откуда уже вылез Дирихле. После этого пришлось стирать половину ответа, а после ответа NSKuber пришлось стирать оставшуюся половину…

[gris]

Происхождение задачи немного мистично. Утром мне в руки попался старый бумажный журнал "Пионер". Я открыл его прямо на страничке с задачей. Ну немного перенёс её сначала для трёх чисел, а потом уже и в наше время. Но пока не соображу — как её решить без Дирихле (в том числе неявного).



На всякий случай: вырезка уже фотошопная. Я не вандал тут!

[iifat]

А что со способом NSKuber не так? Строим график частичных сумм (по модулю $n$) от первого до $n$. Либо найдётся два одинаковых значения, либо все они разные.

[gris]

Да всё так. Только мне кажется, что это тоже немножко Дирихле. Хотелось бы нечто необычное, рождественское
Короче, блажь

[iifat]

Знамо дело, Дирихле. А вам под новый год Дирихле с бантиком? Это да, сложнее.