Ксюшины яблочки

[Ktina]

(ДЕПАСТРАП означает ДЕпутат ПАрламента СТРАны Парадоксов)

Депастрап Ксения Игоревна съедает каждый день либо $m\in\mathbb{N}$, либо $n\in\mathbb{N}$ яблок.
Ксения Игоревна может съесть ровно 100 яблок за 9 или 11 дней, но не может за 10 дней.
Найдите все возможные значения $m$ и $n$.

[12d3]

$4,12$
Ксения Игоревна, видимо, очень любит яблоки, если может съесть 12 штук в день.

[Ktina]

12d3
Ваш ответ верен (с точностью до перестановки m и n). Как насчёт доказательства его единственности?

[mihiv]

Ktina в сообщении #1084766 писал(а):

12d3
Ваш ответ верен (с точностью до перестановки m и n). Как насчёт доказательства его единственности?

Очевидно $m\ne n$, предположим $m>n$. Тогда $9m>100$ или $m\geq 12$. С другой стороны $11n<100$ или $n\leq 9$. И останется перебрать эти 9 значений $n$ с учетом неравенства для $m$.

[Ktina]

mihiv
Спасибо!

[iancaple]

Перебор можно было бы еще сократить, если бы вместо 100 стояло $N$ какое-то большое (иначе незачем).
$mp+nq=N$
$mp'+nq'=N$
$m(p'-p)+n(q'-q)=0$
$p'+q'=p+q+2$
Обозначим $t=\min (|p'-p|,|q'-q|)$, тогда $\frac{\min (m,n)}{\max (m,n)}=\frac t{t+2}$,но непредставим в виде $\frac t{t+1}$,значит, $t$ нечетно, например, в исходной задаче $t=1$, и перебор вести по $t$